SCHEDA METODOMSC-P-009Scienza della misurazione

PCA, EFA o CFA: quale metodo scegliere?

Usa la PCA per ridurre le variabili, l’EFA per esplorare fattori comuni e la CFA per verificare un modello di misura specificato prima dell’analisi.

Risposta diretta

Scegliere PCA, EFA o CFA in base alla domanda, non al software.

Usa la PCA per ridurre le variabili, l’EFA per esplorare fattori comuni e la CFA per verificare un modello di misura specificato prima dell’analisi.

Jolliffe & Cadima, 2016 Costello & Osborne, 2005

La regola decisionale in 30 secondi

ACP / PCA

Ridurre più variabili numeriche a poche componenti che conservano la maggior parte della varianza osservata.

AFE / EFA

Esplorare quanti fattori comuni possano spiegare le correlazioni tra indicatori.

AFC / CFA

Verificare un modello di misura specificato prima dell’analisi ed esaminare dove riproduce male le covarianze osservate.

Jolliffe & Cadima (2016) Costello & Osborne (2005) Goretzko, Siemund & Sterner (2024)

Tre livelli di lettura

1
Decisore: scegliere in base al risultato atteso, non al menu del software.
2
Professionista: dichiarare popolazione, variabili, matrice di correlazione, regola dimensionale e validazione prima del calcolo.
3
Analista: distinguere varianza totale, varianza comune e covarianza implicata dal modello, quindi quantificare la stabilità.

Situazione marketing concreta

Un team di ricerca dispone di dodici indicatori di fiducia, valore percepito e preferenza. Può volerli comprimere per un cruscotto, scoprirne la struttura comune o verificare una scala tridimensionale definita dalla teoria. Lo stesso file può sostenere le tre domande, ma estimandi, ipotesi e conclusioni differiscono.

Perché un metodo scelto per default può fallire

La PCA può produrre componenti utili senza dimostrare l’esistenza di un costrutto latente.
L’EFA dipende dalla matrice, dall’estrazione, dal numero di fattori e dalla rotazione scelti.
Una CFA adattata dopo molte modifiche guidate dagli stessi dati non è più una conferma indipendente.

PCA, EFA e CFA rispondono a domande diverse

PCA, EFA e CFA rispondono a domande diverse
Metodo	Domanda	Varianza modellata	Output principale	Controllo decisivo
ACP / PCA	Come riassumere X con meno assi?	Varianza totale osservata	Componenti, punteggi, varianza spiegata	Scala, valori anomali, stabilità degli assi
AFE / EFA	Quali fattori comuni sono plausibili?	Varianza comune, con unicità	Saturazioni, comunalità, correlazioni fattoriali	Ritenzione, rotazione obliqua, replicazione
AFC / CFA	Il modello specificato riproduce sufficientemente le covarianze?	Covarianza implicata dai parametri del modello	Parametri, residui, incertezza e adattamento	Identificazione, residui, sensibilità, campione indipendente

Jolliffe & Cadima (2016) Costello & Osborne (2005)

Dati necessari e preparazione

Una riga per rispondente e una colonna per indicatore, con popolazione, periodo, modalità di raccolta ed esclusioni documentati.
Scegliere covarianza o correlazione per la PCA. Per item ordinali, giustificare correlazione e stimatore adeguati invece di trattare automaticamente le categorie come continue.
Dichiarare dati mancanti, distribuzioni, disegno campionario e dipendenze. Nessuna numerosità universale sostituisce uno studio di stabilità specifico.
Riservare un campione o una raccolta indipendente per confermare una struttura scoperta con EFA.

Modelli formali e simboli

ACP / PCA

zₖ = Xaₖ ; aₖ′aₖ = 1 ; Var(zₖ) = λₖ

X è la matrice centrata o standardizzata, aₖ un autovettore, zₖ il punteggio della componente e λₖ la varianza della componente.

AFE / EFA

x = Λη + ε ; Σ = ΛΦΛ′ + Θ

Λ contiene le saturazioni, Var(η)=Φ, Cov(η,ε)=0 e Var(ε)=Θ. Φ è una matrice di correlazione solo con fattori standardizzati.

AFC / CFA

Σ(θ) = ΛΦΛ′ + Θ ; F = distance[S, Σ(θ)]

Prima della stima il modello dichiara i parametri liberi o vincolati. L’adattamento confronta la covarianza osservata S con quella implicata Σ(θ).

Calcolo dichiarato, passo dopo passo

01
PCA: standardizzare se le unità non sono comparabili, decomporre la matrice, ordinare λₖ, quindi esaminare varianza spiegata e stabilità.
02
EFA: scegliere la matrice, stimare le comunalità, confrontare regole di ritenzione, applicare una rotazione adatta e interpretare saturazioni e correlazioni.
03
CFA: specificare e identificare il modello, scegliere lo stimatore, stimare θ, esaminare parametri e residui, quindi valutare l’adattamento senza soglia universale automatica.

Esempio numerico riproducibile

Matrice sintetica creata per l’apprendimento. Non descrive alcuna indagine reale.

Sei indicatori standardizzati formano due gruppi di tre variabili. Le correlazioni sono 0,64 entro gruppo e 0,256 tra gruppi. Per costruzione la matrice corrisponde a due fattori con saturazioni 0,80, correlazione 0,40 e unicità 0,36.

       v1     v2     v3     v4     v5     v6
v1   1.000  0.640  0.640  0.256  0.256  0.256
v2   0.640  1.000  0.640  0.256  0.256  0.256
v3   0.640  0.640  1.000  0.256  0.256  0.256
v4   0.256  0.256  0.256  1.000  0.640  0.640
v5   0.256  0.256  0.256  0.640  1.000  0.640
v6   0.256  0.256  0.256  0.640  0.640  1.000

Scarica la matrice CSV

ACP / PCA

PCA: λ = 3,048; 1,512; 0,360; 0,360; 0,360; 0,360. Le prime due componenti spiegano il 76,0% della varianza totale, il 50,8% con la prima.

AFE / EFA

EFA: la soluzione generatrice ha due fattori obliqui. Ogni indicatore satura 0,80 sul proprio fattore, Φ₁₂ = 0,40 e Θ = 0,36. Una stima empirica non ritroverebbe esattamente questi valori.

AFC / CFA

CFA: il modello a due fattori riproduce esattamente questa matrice di popolazione perché la matrice è stata costruita dal modello. Il risultato tautologico illustra il calcolo e non valida alcuna scala reale.

Limite d’incertezza: il file contiene una matrice sintetica esatta, non 300 osservazioni. N = 300 è soltanto uno pseudo-campione fornito ai software per rendere eseguibili i comandi; non crea incertezza campionaria osservata. Eventuali errori standard, intervalli o test di adattamento non vanno interpretati. Per quantificare l’incertezza servono dati individuali o una covarianza empirica con la numerosità reale.

Ipotesi tradotte in domande operative

Ipotesi tradotte in domande operative
Metodo	Domanda
ACP	Le unità rendono comparabile la varianza e gli outlier dominano gli assi?
AFE	Un modello a fattori comuni è plausibile e la rotazione consente le correlazioni attese?
AFC	Il modello è stato specificato prima di vedere i risultati, è identificato e lo stimatore è adatto ai dati?
Tutte	Popolazione, raccolta, dati mancanti e dipendenza delle osservazioni consentono la generalizzazione prevista?

Diagnostica, stabilità e incertezza

ACP

Ricalcolare con covarianza e correlazione se la scala è discutibile, esaminare le osservazioni influenti e ricordare che i segni degli assi sono arbitrari. Confrontare varianza spiegata e contributi senza interpretare un asse come costrutto latente.

Jolliffe & Cadima (2016)

AFE

Confrontare analisi parallela, soluzioni vicine, comunalità, saturazioni secondarie, correlazioni fattoriali e replicazione su nuovi dati. Una soluzione sensibile al numero di fattori, all’estrazione o alla rotazione resta esplorativa.

Costello & Osborne (2005)

AFC

Riportare parametri, errori standard o intervalli, residui, test globale e più indici. Indagare il disadattamento invece di applicare una soglia magica.

Goretzko, Siemund & Sterner (2024)

Come interpretare il risultato

PCA: «due componenti riassumono il 76% della varianza di questa matrice sintetica».
EFA: «una struttura comune a due fattori correlati è compatibile con la matrice e va verificata su nuovi dati».
CFA: «il modello specificato riproduce la covarianza con l’incertezza e gli scarti dichiarati nel campione di conferma».

Conclusioni ammissibili e vietate

Ammissibile

Descrivere la riduzione PCA senza rinominarla fattore latente.
Proporre con EFA una struttura candidata, con alternative e stabilità.
Valutare con CFA un modello prespecificato in popolazione e campione dichiarati.

Vietato

Affermare che un’alta varianza spiegata prova la validità del costrutto.
Presentare una soluzione EFA instabile come struttura vera o universale.
Dichiarare validata una scala da un solo indice o da una CFA modificata sullo stesso campione esplorativo.

Decisione marketing possibile

01
Costruire un punteggio operativo provvisorio con PCA, mantenendone la definizione descrittiva.
02
Rivedere gli item dopo EFA e pianificare una raccolta indipendente per CFA.
03
Mantenere, rivedere o abbandonare un modello usando parametri, residui, incertezza, conseguenze operative ed evidenze esterne, mai un solo punteggio.

Quando usare e quando non usare

Usare

PCA per compressione descrittiva di variabili numeriche.
EFA quando la struttura comune resta incerta.
CFA quando un modello verificabile è definito prima dell’analisi.

Non usare

Nessuno di questi metodi per dimostrare causalità marketing.
PCA o EFA come sostituto automatico di una CFA prespecificata.
CFA se il modello è sottoidentificato o tutte le modifiche sono dettate dallo stesso campione.

Metodi alternativi da considerare

Analisi delle corrispondenze per una tabella di contingenza, da non confondere con la CFA.
Modelli di risposta all’item quando il funzionamento degli item e l’informazione lungo il tratto latente sono centrali.
Modelli strutturali esplorativi o approcci bayesiani quando saturazioni secondarie vicine a zero sono più plausibili di zeri esatti.

Implementazioni riproducibili

Python 3.13.7 · NumPy 2.3.2 · pandas 2.3.2 · factor_analyzer 0.5.1

# Synthetic R; n_obs=300 is an illustrative pseudo-count only.
import numpy as np
import pandas as pd
from factor_analyzer import (FactorAnalyzer, ConfirmatoryFactorAnalyzer,
                             ModelSpecificationParser)

R = np.array([
 [1,.64,.64,.256,.256,.256],
 [.64,1,.64,.256,.256,.256],
 [.64,.64,1,.256,.256,.256],
 [.256,.256,.256,1,.64,.64],
 [.256,.256,.256,.64,1,.64],
 [.256,.256,.256,.64,.64,1]])

eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(R)[::-1]
print(eigenvalues, eigenvalues[:2].sum() / 6)

efa = FactorAnalyzer(n_factors=2, method="minres",
                     rotation="oblimin", is_corr_matrix=True)
efa.fit(R)
print(efa.loadings_, efa.phi_, efa.get_uniquenesses())

names = [f"v{i}" for i in range(1, 7)]
definition = {"F1": names[:3], "F2": names[3:]}
template = pd.DataFrame(np.zeros((1, 6)), columns=names)
spec = ModelSpecificationParser.parse_model_specification_from_dict(
    template, definition)
cfa = ConfirmatoryFactorAnalyzer(
    spec, n_obs=300, is_cov_matrix=True, disp=False)
cfa.fit(R)
print(cfa.loadings_, cfa.factor_varcovs_, cfa.error_vars_)
print(cfa.get_model_implied_cov())

R 4.5.1 · psych 2.5.6 · lavaan 0.6-20

# Synthetic R; n.obs=300 is an illustrative pseudo-count only.
R <- matrix(c(
1,.64,.64,.256,.256,.256,
.64,1,.64,.256,.256,.256,
.64,.64,1,.256,.256,.256,
.256,.256,.256,1,.64,.64,
.256,.256,.256,.64,1,.64,
.256,.256,.256,.64,.64,1), 6, 6, byrow=TRUE)
colnames(R) <- rownames(R) <- paste0("v", 1:6)

eigen(R)$values
psych::fa(R, nfactors=2, n.obs=300,
          fm="minres", rotate="oblimin")

model <- 'F1 =~ v1 + v2 + v3
          F2 =~ v4 + v5 + v6'
fit <- lavaan::cfa(model, sample.cov=R,
                   sample.nobs=300, std.lv=TRUE)
lavaan::summary(fit, fit.measures=TRUE, standardized=TRUE)

IBM SPSS Statistics 31.0.0.0 · PCA / EFA

* Synthetic R; N=300 is an illustrative pseudo-count only.
MATRIX DATA VARIABLES=ROWTYPE_ v1 TO v6
 /FORMAT=FULL.
BEGIN DATA
N 300 300 300 300 300 300
CORR 1 .64 .64 .256 .256 .256
CORR .64 1 .64 .256 .256 .256
CORR .64 .64 1 .256 .256 .256
CORR .256 .256 .256 1 .64 .64
CORR .256 .256 .256 .64 1 .64
CORR .256 .256 .256 .64 .64 1
END DATA.
FACTOR MATRIX IN(COR=*) /ANALYSIS=v1 TO v6
 /CRITERIA=FACTORS(2) /EXTRACTION=PC /ROTATION=NONE.
FACTOR MATRIX IN(COR=*) /ANALYSIS=v1 TO v6
 /CRITERIA=FACTORS(2) /EXTRACTION=PAF /ROTATION=OBLIMIN.
* Confirmatory analysis requires an explicit Amos model.

SAS 9.4 TS1M8 · PROC FACTOR · PROC CALIS

* Synthetic R; N=300 is an illustrative pseudo-count only;
data corr(type=corr);
  input _type_ $ _name_ $ v1-v6;
  datalines;
N . 300 300 300 300 300 300
CORR v1 1 .64 .64 .256 .256 .256
CORR v2 .64 1 .64 .256 .256 .256
CORR v3 .64 .64 1 .256 .256 .256
CORR v4 .256 .256 .256 1 .64 .64
CORR v5 .256 .256 .256 .64 1 .64
CORR v6 .256 .256 .256 .64 .64 1
;
proc factor data=corr method=prin nfact=2 rotate=none; run;
proc factor data=corr method=prin priors=smc nfact=2 rotate=promax; run;
proc calis data=corr corr nobs=300;
  factor F1 ---> v1-v3,
         F2 ---> v4-v6;
  pvar F1=1., F2=1.;
  cov F1 F2;
run;

Le versioni sono dichiarate per rendere verificabile il protocollo. Gli output possono differire per stimatore, rotazione, convenzioni di segno e valori iniziali. Il software non valida mai la scelta del metodo.

Risultato finale atteso

01
Domanda, popolazione, unità di analisi, variabili e matrice usata.
02
Giustificazione PCA, EFA o CFA prima dei risultati.
03
Specificazione, stimatore, rotazione, criteri di ritenzione e versioni software.
04
Risultati completi, diagnostica, sensibilità, incertezza e fallimenti di convergenza.
05
Conclusione ammessa, conclusione vietata e prossima decisione umana.

Fonti scientifiche e livello di evidenza

Jolliffe & Cadima (2016)Rassegna metodologica
Stabilisce l’obiettivo descrittivo della PCA, la massimizzazione successiva della varianza e la sensibilità a scala e outlier. Non prova la validità di un costrutto marketing.
Costello & Osborne (2005)Rassegna applicata con analisi empiriche
Distingue componenti e fattori comuni e documenta estrazione, ritenzione e rotazione. Le raccomandazioni non sono soglie universali.
Goretzko, Siemund & Sterner (2024)Rassegna empirica di 221 studi
Mostra perché gli indici non si leggono con una soglia assoluta unica e raccomanda parametri, residui e valutazione completa. Il contesto va comunque dichiarato.

Dataset · Strumento

Dataset · MSC-P-009-MATRIXMatrice sintetica PCA, EFA e CFA→

Connessioni metodologiche

Territorio principaleScienza della misurazione: costruire indicatori validi