¿Cuánto vale un suscriptor con solo seis meses de retención observada?

Para estimar el valor de un suscriptor, el método de los manuales toma una tasa de retención y la supone constante ^[C19]. Sin embargo, en una cohorte, esa tasa aumenta con la antigüedad: los suscriptores más volátiles se van primero, y los que se quedan son, en promedio, más fieles ^[C09]. Una tasa constante ignora esta criba y subestima el valor de la base de suscriptores ^[C20]. El modelo shifted-beta-geometric (sBG) de Fader y Hardie describe esta criba con dos parámetros y proyecta la retención más allá del historial observado.

Con datos sintéticos, en los que la verdad es conocida, una cohorte de 2.000 suscriptores mensuales observada durante seis meses: la tasa constante estima el valor de un nuevo suscriptor en 103 €, el modelo sBG en 290 €, para un valor verdadero de 279 €. En 100 simulaciones independientes, la tasa constante subestima el valor de los suscriptores restantes en 100 casos de 100. Dos salvedades pesan sobre estas cifras: más de la mitad del valor se juega más allá del mes 24, algo que el historial no permite verificar, y el resultado depende en gran medida de la tasa de descuento elegida.

Un servicio de suscripción mensual —cajas por suscripción, software, prensa en línea— captó 2.000 suscriptores en enero. A principios de cada mes, el suscriptor paga y la empresa obtiene un margen de 12 €; a final de mes, renueva o se da de baja. Seis meses después, quedan 1.058 suscriptores. La dirección financiera pide dos cifras: cuánto vale un nuevo suscriptor, para fijar el coste de adquisición máximo, y cuánto valen los 1.058 suscriptores restantes, para saber qué representa la base que hay que fidelizar.

Los datos de esta página son sintéticos: se sabe que la probabilidad de baja varía de un suscriptor a otro según una distribución beta de parámetros 0,5 y 2,5 —una distribución que describe cómo se reparte esa probabilidad entre los suscriptores—, es decir, una baja media de 1 de cada 6 al mes, un nivel elevado para una suscripción.

A partir de las bajas observadas durante los seis primeros meses de una cohorte, ¿cuál es el valor actual esperado de los márgenes futuros de un nuevo suscriptor, y el de un suscriptor que sigue activo tras seis meses? Ambos valores exigen proyectar la curva de supervivencia de la cohorte mucho más allá del horizonte observado: si solo se suma la parte observada de la curva, se subestiman la permanencia y el valor ^[C02].

Las tasas de retención observadas suben claramente a lo largo del periodo: 83,4 %, 87,8 %, 89,3 %, 92,5 %, 93,9 % y 93,2 %. Dos atajos habituales las resumen en una sola cifra:

• la tasa global, ponderada por los vencimientos: 942 bajas en 8.781 vencimientos de renovación, es decir, una tasa de retención constante del 89,3 %;
• la última tasa observada, considerada más representativa de la cohorte actual: 93,2 %.

En ambos casos se supone que cada mes futuro se parecerá al pasado. Pero el aumento de las tasas no se debe a que cada suscriptor se vuelva más fiel con el tiempo: en nuestros datos, la probabilidad individual es constante por construcción. Se debe a una criba: los suscriptores con alta probabilidad de baja se van pronto, y la cohorte se concentra en los fieles ^{[C08, C09]}. Este fenómeno se denomina «la astucia de la heterogeneidad» ^[C10]. Ajustar una recta, una parábola o una exponencial a la curva observada no resuelve nada: esas curvas se ciñen a los datos pasados y se desvían en cuanto se prolongan ^[C03].

El modelo sBG cuenta una historia sencilla ^[C04]:

1. al final de cada mes, cada suscriptor «lanza una moneda»: se da de baja o renueva;
2. para un suscriptor dado, la probabilidad de darse de baja, denotada θ, no cambia con el tiempo;
3. esta probabilidad varía de un suscriptor a otro ^[C05], según una distribución beta ^[C06], una distribución flexible, acotada entre 0 y 1.

Dos parámetros, α y β, resumen toda la cohorte. Se estiman con los meses observados y luego se calcula la retención de cada mes futuro. El modelo produce mecánicamente tasas de retención que aumentan con la antigüedad, aunque cada suscriptor mantenga el mismo comportamiento ^[C08].

Para cada cohorte de adquisición, el número de suscriptores todavía activos en cada vencimiento de renovación. Bastan recuentos agregados: el modelo puede estimarse incluso con la parte de la cohorte que sigue activa ^[C31], pero se necesitan los recuentos reales para medir la incertidumbre. También hace falta el margen por periodo, cobrado al inicio del periodo, y una tasa de descuento expresada en la misma unidad de tiempo que los vencimientos: aquí, el 1 % mensual, es decir, aproximadamente un 12,7 % anual.

El método supone vencimientos fijos (mensuales, anuales) y una baja que la empresa observa ^[C01]. Si la baja puede producirse en cualquier momento, se necesita el equivalente en tiempo continuo ^[C15]; si la empresa no ve la marcha del cliente, como en el comercio sin suscripción, se necesitan otros modelos ^[C16].

Esta sección está dirigida al especialista. Quien toma decisiones puede saltársela y continuar en «El cálculo declarado»: basta con la frase «En pocas palabras» que la cierra.

• T: el número de mensualidades pagadas por un suscriptor, es decir, su permanencia en meses; T ≥ 1.
• θ: la probabilidad, propia de cada suscriptor, de darse de baja en un vencimiento; es constante en el tiempo. Si θ fuera conocida, se tendría S(t | θ) = (1 − θ)ᵗ.
• θ sigue una distribución beta de parámetros α > 0 y β > 0 ^[C06]. Su media α / (α + β) es la probabilidad media de baja; el índice de polarización φ = 1 / (α + β + 1) mide la heterogeneidad ^[C34]: cerca de 0, todos los suscriptores se parecen; cerca de 1, se reparten entre muy fieles y muy volátiles.
• S(t) = P(T > t): la parte de la cohorte todavía activa tras t vencimientos; S(0) = 1.
• Tasa de retención del vencimiento t: rₜ = S(t) / S(t − 1) = (β + t − 1) / (α + β + t − 1), de donde S(t) = r₁ × r₂ × … × rₜ. Las probabilidades se calculan por recurrencia, sin función beta ^[C07]: P(T = 1) = α / (α + β) y P(T = t) = P(T = t − 1) × (β + t − 2) / (α + β + t − 1).
• Log-verosimilitud sobre seis vencimientos, con nₜ bajas en el vencimiento t, s₆ suscriptores todavía activos y ln el logaritmo neperiano: LL(α, β) = Σₜ₌₁⁶ nₜ ln P(T = t) + s₆ ln S(6) ^[C38]. Se buscan los valores de α y β que la maximizan ^[C11].
• m: margen mensual, cobrado al inicio del mes; d: tasa de descuento mensual.
• Valor de un nuevo suscriptor, o CLV (customer lifetime value, valor del ciclo de vida del cliente): CLV = m × Σₜ₌₀^∞ S(t) / (1 + d)ᵗ ^[C33].
• Valor residual de un suscriptor todavía activo tras n vencimientos, medido en el momento en que acaba de pagar su mensualidad n + 1: VR(n) = m × Σₜ₌ₙ₊₁^∞ [S(t) / S(n)] / (1 + d)ᵗ⁻ⁿ. El cociente S(t) / S(n) tiene en cuenta la antigüedad ya acumulada: un suscriptor que ya ha renovado seis veces probablemente tiene una θ inferior a la media ^[C21]. Fader y Hardie miden este valor justo antes de la decisión de renovación e incluyen en él el pago siguiente; esta elección de fecha es una convención ^[C39], y ambas expresiones se deducen la una de la otra.
• Modelo de tasa constante (geométrico), límite del sBG cuando la polarización tiende a 0 ^[C35]: θ̂ = bajas / vencimientos de renovación, S(t) = (1 − θ̂)ᵗ, de donde CLV = m (1 + d) / (d + θ̂).

En pocas palabras: cada suscriptor conserva su propia probabilidad de irse; como los más volátiles se van primero, la cohorte se vuelve más fiel, y el valor de un suscriptor depende del tiempo que ya ha permanecido.

1. Cohorte sintética generada mediante una recurrencia congruencial declarada (semilla 20261002; x ← 1103515245 · x + 12345 mod 2³¹), idéntica en Python y en R. La duración de cada suscriptor se obtiene invirtiendo la función de supervivencia sBG verdadera (α = 0,5, β = 2,5).
2. Calibración con los seis primeros vencimientos; los meses 7 a 24 se reservan para juzgar la proyección.
3. Modelo de tasa constante: estimación por máxima verosimilitud, que se reduce al cociente bajas / vencimientos.
4. Modelo sBG: máxima verosimilitud sobre (ln α, ln β) mediante el algoritmo símplex de Nelder-Mead, programado a mano; el programa se detiene con un error si el algoritmo no converge. Errores estándar mediante la matriz hessiana numérica en la escala logarítmica, trasladados a α y β mediante el método delta: error estándar de α = α × error estándar de ln α.
5. Variante «última tasa»: la última tasa de retención observada (mes 6), prolongada sin cambios.
6. Valores descontados al 1 % mensual (aproximadamente un 12,7 % anual), margen de 12 € al mes, series truncadas en 3.000 términos: el resto es inferior a un céntimo.
7. Incertidumbre: bootstrap paramétrico, 200 cohortes simuladas a partir de los parámetros estimados, cada una reestimada; el intervalo va del 5.º al 195.º de los 200 valores ordenados, es decir, un intervalo de confianza del 95 % aproximadamente.
8. Repetición de todo el procedimiento con 100 cohortes independientes, para separar lo sistemático de lo que depende del azar de una sola simulación.
9. Sensibilidad: proporción del valor situada más allá de los meses 24, 60 y 120; valores limitados a las 24, 36 y 60 primeras mensualidades; valores para una tasa de descuento del 0,5 %, el 1 %, el 1,5 % y el 2 % mensual, y del 10 % mensual, es decir, la tasa por vencimiento de los autores, cuyos vencimientos son anuales.
10. Control del código antes de usarlo: los dos programas reproducen las estimaciones publicadas por Fader y Hardie (2007) con sus dos conjuntos de datos (α = 0,668 y β = 3,806; α = 0,704 y β = 1,182) ^{[C12, C13]}, así como las diez duraciones residuales descontadas de la tabla 4 de Fader y Hardie (2010) ^[C32], y se detienen con un error si no las reproducen. El texto del artículo de 2007 imprime 0,688 para α en la página 9; es el valor del anexo, 0,668, el que reproduce la máxima verosimilitud.

Las estimaciones. El modelo de tasa constante da una baja del 10,7 % mensual. El modelo sBG da α = 0,475 (error estándar 0,048) y β = 2,371 (0,327), es decir, una baja media del 16,7 % y un índice de polarización de 0,26, próximos a los valores verdaderos, 16,7 % y 0,25. El sBG se ajusta claramente mejor: log-verosimilitud de −2.926,8 frente a −2.992,4, y un criterio de información de Akaike —que arbitra entre la calidad del ajuste y el número de parámetros; cuanto más bajo, mejor— inferior en 129 puntos.

La proyección, juzgada con los meses reservados.

El modelo sBG estima una tasa de retención del 93,9 % en el mes 6, dentro del periodo de calibración, y después proyecta el 96,6 % en el mes 12 y el 98,2 % en el mes 24: la cohorte se estabiliza en sus suscriptores fieles.

Los valores.

Con respecto al valor verdadero, la tasa constante subestima el valor de un nuevo suscriptor en un 63 % y el de los suscriptores restantes en un 80 %; la última tasa, en un 68 %. El sBG sobrestima ambos valores en aproximadamente un 4 % en esta simulación.

Lo que el historial no verifica. El valor sBG de un nuevo suscriptor se sitúa en un 56,8 % más allá del mes 24, en un 32,4 % más allá del mes 60 y en un 14,6 % más allá del mes 120; para un suscriptor restante, estas proporciones son del 70,8 %, el 40,5 % y el 18,3 %. Limitado a las primeras mensualidades, el valor de un nuevo suscriptor es el siguiente:

La sensibilidad a la tasa de descuento.

Solo la elección de la tasa, entre el 0,5 % y el 2 % mensual, desplaza el valor sBG de un nuevo suscriptor de 431 € a 193 €: mucho más que la incertidumbre de estimación.

Con 100 cohortes independientes.

El sesgo es la media de las 100 estimaciones menos el valor verdadero. En el caso del sBG, no se distingue de cero: su error de simulación es de 1,92 € para un nuevo suscriptor y de 3,35 € para un suscriptor restante. La tasa constante y la última tasa subestiman el valor de los suscriptores restantes en 100 simulaciones de 100. Las estimaciones con tasa constante varían poco de una simulación a otra: son precisas, pero erróneas.

• Probabilidad individual constante. El modelo atribuye todo el aumento de las tasas a la criba. Otra explicación posible es que cada suscriptor cambie realmente con la antigüedad ^[C28]; con datos agregados, ambas explicaciones no se distinguen, por lo que el supuesto no puede comprobarse aquí. ¿Sus suscriptores se apegan al servicio con el tiempo, o se cansan de él? El modelo beta-Weibull discreto relaja este supuesto ^[C17].
• Sin ruptura planificada. En datos mensuales, la estacionalidad y el fin de las ofertas de lanzamiento crean picos de bajas; en ese caso, se puede sustituir el sBG por un modelo de duración con variables explicativas ^[C29]. ¿Su oferta de prueba a 1 € termina en el mes 3?
• Vencimientos fijos y marcha observada: el método no sirve ni para bajas que se producen en cualquier momento ^[C15], ni para un comercio sin suscripción ^[C16]. ¿Pueden sus suscriptores darse de baja a mitad de mes, y sabe usted siempre que se han ido?
• Una cohorte representativa de las que vendrán. Las cohortes captadas en momentos distintos o por canales distintos pueden comportarse de forma diferente ^[C37]. Con varias cohortes, el punto de partida natural es agruparlas bajo parámetros comunes; también se pueden estimar por separado o darles parámetros propios ^[C18]. ¿Sus cohortes de enero y de septiembre se captaron por los mismos canales y al mismo precio?
• Margen mensual constante: un suscriptor que sube a un plan superior exige modelizar el margen por separado. ¿Evoluciona su margen por suscriptor con la antigüedad?
• Los suscriptores se dan de baja de forma independiente unos de otros. ¿No habrá provocado un cambio de precio o una caída del servicio una oleada de bajas simultáneas?

• Validación fuera de muestra: con datos reales, reservar los últimos meses, estimar con los primeros y comparar la proyección con lo observado. Aquí, la desviación media del sBG es de 1,1 puntos porcentuales en los meses 7 a 24. Este control solo abarca el horizonte observado: no verifica el 56,8 % del valor de un nuevo suscriptor que se juega después del mes 24, y que depende de la forma de la distribución beta cerca de θ = 0, sobre la que seis meses de historial informan poco.
• Comparación de los ajustes: el cociente de verosimilitud vale 131,3. El modelo de tasa constante es el límite del sBG cuando la polarización tiende a 0 ^[C35], un valor situado en el borde del espacio de parámetros: la distribución χ² habitual no se aplica con exactitud, y la cifra se lee como un indicador, no como una prueba.
• Incertidumbre de estimación: según el bootstrap paramétrico, el intervalo de confianza del 95 % aproximadamente del valor esperado de un nuevo suscriptor va de 250 € a 331 €, y el del valor esperado de un suscriptor restante, de 397 € a 537 €. Estos intervalos se refieren a la esperanza, no al valor que realizará un suscriptor concreto; suponen que el modelo sBG es correcto y no cubren ni el error de modelo, ni la incertidumbre sobre el margen futuro o sobre la tasa de descuento.
• Errores estándar de los parámetros: 0,048 para α, 0,327 para β. Con seis meses de historial, β sigue siendo el parámetro peor conocido.
• Tasa de descuento: del 0,5 % al 2 % mensual, el valor sBG de un nuevo suscriptor va de 431 € a 193 €; esta elección, que corresponde a la dirección financiera, pesa más que la incertidumbre de estimación.
• Lo que la simulación demuestra, y lo que no demuestra: los datos se generan con un modelo sBG, por lo que el sBG es correcto en ellos por construcción. La simulación mide el coste de ignorar la heterogeneidad cuando existe; no demuestra que el sBG sea adecuado para sus datos.

La tasa de retención de la cohorte sube porque la cohorte cambia de composición, no porque cada suscriptor cambie. Una tasa constante trata el mes 25 igual que el mes 2, lo que equivale a hacer que los suscriptores fieles se vayan demasiado pronto. El error pesa sobre todo en el valor de los suscriptores restantes: son precisamente los fieles. Los autores del modelo encuentran, mediante análisis numérico, una subestimación del orden del 25 % al 50 % en situaciones habituales ^[C26], y del 28 % y el 48 % cuando aplican los parámetros estimados con dos conjuntos de datos reales a una base ficticia que capta 10.000 clientes al año ^[C25]; no lo demuestran formalmente ^[C30]. Nuestra desviación es mayor, y la razón principal es la tasa de descuento por periodo: al 1 % mensual, los meses lejanos, en los que solo quedan los fieles, pesan mucho más que al 10 % por vencimiento, la convención de los autores, cuyos vencimientos son anuales. Aplicada a nuestros vencimientos mensuales y a nuestra cohorte única, y no a la base de cinco cohortes de los autores, una tasa del 10 % mensual reduce la desviación en los suscriptores restantes al −39 % para la tasa constante y al −22 % para la última tasa. Cuanto más se parecen los suscriptores, menor es el error de la tasa constante ^[C23]; cuando la heterogeneidad es fuerte, solo sigue siendo aceptable si la baja media es muy baja ^[C24].

• Permitido: «En esta cohorte, si el aumento de las tasas se debe a la criba de los suscriptores y con un descuento del 1 % mensual, el valor esperado de un nuevo suscriptor es de unos 290 € de margen descontado, con un intervalo de confianza del 95 % aproximadamente de 250 € a 331 €».
• Permitido: «En esta simulación (sBG, α = 0,5, β = 2,5), valorar la base con una tasa de retención constante la subestima fuertemente; así ocurre en 100 simulaciones de 100».
• Prohibido: concluir que los suscriptores se vuelven más fieles con el tiempo. Los datos agregados no distinguen la criba de un verdadero cambio individual ^[C28].
• Prohibido: presentar el valor proyectado como cierto. Un CLV es una esperanza matemática ^[C22], condicionada al modelo, al margen y a la tasa de descuento, y más de la mitad de él se proyecta más allá del historial.
• Prohibido: aplicar el modelo a clientes sin suscripción, o a una cohorte marcada por el fin de una oferta de lanzamiento, sin adaptarlo ^{[C16, C29]}.
• Prohibido: presentar estas cifras como un resultado de mercado; los datos son sintéticos.

• Límite máximo de adquisición. Partir del límite inferior del intervalo —250 € de margen descontado por nuevo suscriptor—, y no de los 103 € de la tasa constante, que, si el modelo es correcto, llevarían a rechazar campañas rentables. Un límite igual al valor esperado corresponde al punto muerto, no a un beneficio: el margen de seguridad, en particular frente al error de modelo y a la elección de la tasa de descuento, sigue siendo una decisión de la dirección financiera. Este límite supone también que los próximos suscriptores captados se comporten como esta cohorte ^[C37]; hay que verificarlo con cada nueva cohorte y cada nuevo canal.
• Fidelización. El valor de los suscriptores restantes —unos 494.000 €, entre 420.000 € y 568.000 € para el conjunto de los 1.058 suscriptores— mide lo que está en juego, no un presupuesto. El presupuesto de fidelización depende de la ganancia que produce realmente una acción de retención: hay que medirla mediante un experimento. La sensibilidad del valor a la retención, su elasticidad, se calcula con el mismo modelo ^[C36], y una tasa agregada también la subestima ^[C27].
• Seguimiento. Reestimar el modelo cada mes, a medida que la cohorte envejece, y comparar cada nueva proyección con lo observado.

La decisión sigue siendo humana y compromete a la dirección financiera.

• Usar: suscripciones con vencimientos fijos, mensuales o anuales, siempre que haya que proyectar la retención más allá del historial: valor de un nuevo suscriptor, valor de la base, límite máximo de adquisición.
• No usar para identificar a quién retener: para detectar qué suscriptor corre el riesgo de irse el mes que viene, los modelos de puntuación de churn, que aprovechan variables como el número de llamadas al servicio de atención al cliente, son la herramienta adecuada; en cambio, se prestan mal a la proyección de la curva de supervivencia, porque no se conocen los valores futuros de esas variables ^[C14]. Véase la página sobre la predicción del churn mediante regresión logística.
• No usar en solitario: con una oferta de lanzamiento o una fuerte estacionalidad ^[C29], o si se sospecha que la fidelidad individual cambia con la antigüedad ^{[C17, C28]}.
• Alternativas: en tiempo continuo, el modelo exponencial-gamma ^[C15]; sin suscripción, los modelos Pareto/NBD o BG/NBD ^[C16] —véase la página sobre la estimación del CLV no contractual—; para describir la supervivencia observada sin prolongarla, el estimador de Kaplan-Meier —véase la página sobre el análisis de la retención y la supervivencia—. Para juzgar una proyección con meses reservados, véase la página sobre la validación de un pronóstico de marketing.

• Python 3.14.5, solo la biblioteca estándar: msc-p043-reference.py, que se ejecuta con python msc-p043-reference.py
• R 4.6.1, solo base: msc-p043-reference.R, que se ejecuta con Rscript msc-p043-reference.R
• Los dos programas imprimen exactamente las mismas líneas, cuya huella sha256, tras normalizar los finales de línea, es f98cbaeade192173a375ae7e4290cb24ec7561c498f7fbca17f45811847186fb. Semilla declarada 20261002. Ninguna biblioteca de terceros: el software no valida el método, lo reproduce.
• Control externo: antes de cualquier cálculo con los datos sintéticos, los dos programas reproducen las estimaciones publicadas por Fader y Hardie y las duraciones residuales de su tabla de 2010, y se detienen con un error en caso contrario ^{[C12, C13, C32]}.

La curva de retención proyectada y su validación fuera de muestra, los parámetros α y β con sus errores estándar, el valor de un nuevo suscriptor y el de los suscriptores restantes con sus intervalos, la proporción de esos valores situada más allá del horizonte verificado, su sensibilidad a la tasa de descuento, la comparación con la tasa constante, y la lista de supuestos que deben verificarse antes de decidir.

• Fader, P. S. & Hardie, B. G. S. (2007). How to Project Customer Retention. Journal of Interactive Marketing 21(1), 76–90. ↗ — versión de trabajo de los autores, mayo de 2006, texto completo verificado ^{[C01–C18, C31, C33, C37, C38]}.
• Fader, P. S. & Hardie, B. G. S. (2010). Customer-Base Valuation in a Contractual Setting: The Perils of Ignoring Heterogeneity. Marketing Science 29(1), 85–93. ↗ — versión publicada, texto completo verificado ^{[C19–C30, C32, C34–C36, C39]}.
• Nivel de evidencia: demostración con datos sintéticos, una simulación detallada, un bootstrap de 200 cohortes y 100 simulaciones repetidas, reproducible en Python y en R; código controlado con los valores publicados por los autores. No es un resultado de mercado. Los propios autores establecen la subestimación mediante análisis numérico, sin demostración formal ^[C30].