¿Cómo modelar saturación y adstock?

Un modelo de respuesta de medios — persistencia y luego saturación — se ajusta sobre 560 combinaciones de parámetros declaradas. La mejor explica 0,938098 de la varianza. Pero ocho combinaciones explican los datos con menos del 1 % de diferencia, y entre ellas la curvatura va de 0,600000 a 1,400000 y el punto de semisaturación de 25 a 65: la curva no está determinada. Sí lo está la persistencia, recuperada exactamente en 0,600000, y el rendimiento de una unidad de gasto adicional, entre 1,478765 y 1,586695. Veredicto: RESPONSE_CURVE_IDENTIFIED_FOR_REALLOCATION.

Una dirección de medios debe arbitrar un presupuesto semanal. Su modelo de mix explica muy bien el histórico y produce una curva de respuesta suave, acompañada de un punto de saturación cifrado. La pregunta que hay que hacerse antes de mover un euro es esta: ¿es esa curva la única compatible con los datos, o habría otras curvas, muy distintas, que los explicarían igual de bien? La respuesta cambia por completo lo que es lícito hacer con el modelo.

Para estas 156 semanas, este modelo declarado y esta rejilla declarada de 560 combinaciones, ¿qué combinaciones de persistencia, curvatura y punto de semisaturación explican los datos con menos del 1 % de diferencia respecto de la mejor? ¿Y esas combinaciones coinciden en la única cantidad que un arbitraje usa de verdad, el rendimiento de una unidad de gasto adicional al nivel de gasto actualmente observado? La pregunta no es la bondad del ajuste, sino qué determinan realmente los datos.

Tomar la combinación que mejor ajusta y leer sus parámetros como magnitudes es el error central de esta familia de modelos. Nada en un buen ajuste garantiza que los parámetros estén determinados: persistencia, curvatura y punto de semisaturación se compensan entre sí, de modo que curvas muy distintas casi se superponen en el rango de gasto observado. En este archivo, la mejor combinación da una curvatura de 1,000000 y un punto de semisaturación de 45, mientras que los valores que realmente generaron los datos son 1,80 y 55 — y su ajuste es solo un 2,556023 % peor.

El método consiste en no detenerse en el mejor ajuste. Se recorre una rejilla declarada de combinaciones, se ajusta cada una, y luego se conservan todas las que explican los datos con menos del 1 % de diferencia respecto de la mejor: ese es el conjunto que los datos no saben separar. En ese conjunto se miran dos cosas. ¿Están apretados los parámetros? Y sobre todo, ¿coinciden en el rendimiento de una unidad de gasto adicional, que es la única cantidad que consume un arbitraje? Un conjunto amplio de parámetros puede perfectamente coincidir en ese rendimiento, y eso es lo que decide.

Se fijan antes de cualquier lectura: la numeración de semanas sin huecos, el gasto de medios semanal, la facturación semanal, la forma del modelo, la inicialización de la persistencia en cero, el orden de las transformaciones — primero persistencia, luego saturación —, la base compuesta por una constante, una tendencia lineal y dos armónicos anuales, la rejilla de 560 combinaciones, la tolerancia del 1 % que define la región, el nivel de gasto al que se lee el rendimiento marginal, y los dos umbrales. El archivo sellado contiene 156 semanas. El caso es sintético y así se declara.

La persistencia acumula el gasto pasado: A(t) = x(t) + λ·A(t−1), con A(0) = 0 y λ la tasa de arrastre. La saturación convierte ese stock en una proporción entre cero y uno: S(t) = A(t)^β / (γ^β + A(t)^β), donde β regula la curvatura y γ es el nivel en el que la proporción alcanza exactamente la mitad. Esa proporción entra linealmente junto a la base, y su coeficiente da la amplitud. El rendimiento de una unidad adicional es la derivada de la respuesta respecto del stock, leída en el stock medio de la combinación considerada.

El cálculo declarado encadena siete pasos: validar el esquema y rechazar todo archivo no conforme o demasiado corto; construir las columnas de base; para cada tasa de arrastre declarada, construir una vez la serie de persistencia y registrar su nivel medio; para cada una de las 560 combinaciones, construir el regresor saturado y resolver en forma cerrada los siete parámetros lineales por eliminación de Gauss con pivote parcial, rechazando un diseño singular; retener la combinación con la menor suma de cuadrados residuales y reunir todas las que estén a menos del 1 %; en esa región, calcular la extensión de cada parámetro y el intervalo del rendimiento marginal, rechazando un rendimiento marginal no positivo; aplicar los dos umbrales declarados y la regla del veredicto.

Ilustración sintética — valores didácticos, no observados

En el archivo sellado: 156 semanas, 560 combinaciones. La mejor tiene una persistencia de 0,600000, una curvatura de 1,000000, un punto de semisaturación de 45 y una amplitud de 629,019162; explica 0,938098 de la varianza con una desviación típica residual de 25,033965. Ocho combinaciones caen dentro de la tolerancia del 1 %. En esa región, la persistencia va de 0,600000 a 0,600000, extensión nula, control superado; la curvatura va de 0,600000 a 1,400000 y el punto de semisaturación de 25 a 65. El rendimiento marginal va de 1,478765 a 1,586695, o sea una razón de 1,072987, control superado; la mejor combinación da 1,535957. Los verdaderos parámetros no están en la región, con un ajuste un 2,556023 % peor, e implican un rendimiento de 1,539121. Veredicto: RESPONSE_CURVE_IDENTIFIED_FOR_REALLOCATION.

El modelo supone que la persistencia es geométrica y sin retraso de pico, que la saturación sigue esta forma precisa, que la base capta bien tendencia y estacionalidad, y que el gasto no se planificó en función de lo que se intenta medir. Esta última hipótesis es la más pesada y la única que importa de verdad: en este caso sintético es cierta por construcción, en la vida real es casi siempre falsa. Tres cosas no son comprobables aquí: la forma funcional misma, lo que ocurriría a un nivel de gasto nunca observado, y el efecto causal de un desplazamiento de presupuesto.

El diagnóstico decisivo cabe en una comparación. La bondad de ajuste es alta, 0,938098, y no dice nada: sería casi idéntica para ocho combinaciones distintas. La extensión de los parámetros en la región dice mucho más: la persistencia está fijada, la curvatura más que se duplica, el punto de semisaturación va de 25 a 65. Y sin embargo el intervalo del rendimiento marginal sigue siendo estrecho, con una razón de 1,072987. Al ser el caso sintético, puede comprobarse lo que ningún análisis real permite: el verdadero rendimiento, 1,539121, cae dentro de ese intervalo, aunque los verdaderos parámetros queden excluidos de él.

Alternativas declaradas antes del resultado: imponer restricciones de signo y estimar todos los parámetros simultáneamente en vez de en dos etapas; estrechar la rejilla alrededor de la mejor combinación para ver si la región se reduce; sustituir la persistencia geométrica por una forma que admita un retraso de pico; o sustituir la lectura observacional por un experimento geográfico que haga variar el gasto de forma controlada. Cada variante debe anunciarse antes de leer y reportarse aunque amplíe la región.

El resultado utilizable es una pendiente local, no una curva. Al nivel de gasto observado, una unidad adicional rinde alrededor de 1,54, y ese valor es robusto a todo lo que los datos no saben dirimir. La curva, en cambio, no está determinada: la mejor combinación se equivoca tanto en la curvatura como en el punto de semisaturación, y el hecho de que ajuste mejor que los valores verdaderos es una propiedad del ruido, no un hallazgo. Por eso exactamente este dosier autoriza un ajuste marginal del presupuesto y nada más.

Permitido: ajustar el presupuesto al margen en torno al nivel observado, apoyándose en el rendimiento marginal y su intervalo; publicar el tamaño de la región y la extensión de los parámetros junto a la bondad de ajuste, nunca una sin las otras; exigir a un proveedor esa región con cada curva de respuesta entregada; y concluir que la persistencia está determinada aquí porque el gasto llega en ráfagas nítidas. También permitido: decir que este resultado solo vale dentro del rango de gasto observado.

Prohibido: citar 1,000000 como la curvatura del canal o 45 como su punto de saturación, cuando ocho combinaciones explican los datos igual de bien y los verdaderos valores están en otra parte; prolongar la curva más allá del rango de gasto observado, donde las combinaciones de la región divergen; leer 0,938098 como prueba de que el modelo es correcto; presentar el rendimiento marginal como el efecto causal de un desplazamiento de presupuesto; o elegir la tolerancia tras ver el tamaño de la región. También prohibido: presentar este caso sintético como una medición observada.

La decisión razonable es un desplazamiento de presupuesto modesto, calibrado sobre el rendimiento marginal y acotado por su intervalo, dentro del rango de gasto ya practicado. Cualquier ambición más amplia — hallar el punto de saturación, definir un presupuesto óptimo, comparar dos canales por sus curvas — exige hacer variar el gasto a propósito, mediante un experimento geográfico, en vez de leer más finamente un histórico que no contiene la información. El modelo indica en qué dirección empujar; no dice hasta dónde.

Usar este protocolo cada vez que se entrega una curva de respuesta de medios para fundamentar un arbitraje, y antes de cualquier optimización automatizada de presupuesto. Evitarlo cuando el gasto ha variado poco en el periodo, porque la región será entonces muy amplia y el protocolo se limitará a constatarlo. Evitarlo también cuando el gasto se planificó en función de las ventas esperadas, caso habitual en datos reales, que introduce un sesgo que este dosier no trata. Y evitarlo como sustituto de un experimento cuando la pregunta es el efecto de un cambio de presupuesto.

El CSV CC0 contiene las 156 semanas sintéticas. Python y R son las implementaciones de referencia; SPSS retoma el mismo cálculo en un bloque Python; SAS emplea la misma rejilla pero confía los 560 ajustes a su propio procedimiento de regresión por grupos, y verifica las dos banderas en vez de cada decimal. El entregable final reúne los datos, el diccionario de variables, la forma del modelo declarada, el orden de las transformaciones, la rejilla, la tolerancia de región, los dos umbrales, los siete pasos numerados, la mejor combinación, el tamaño de la región y la extensión de cada parámetro, el intervalo del rendimiento marginal, los tres diagnósticos propios del caso sintético, las dos banderas, el veredicto y las versiones de software.

Jin, Wang, Sun, Chan y Koehler plantean la forma persistencia y luego saturación y señalan que los parámetros de la función de Hill son esencialmente no identificables en ciertos casos, que dos curvas muy distintas casi coinciden en el rango observado pero divergen fuera de él, que ningún método estadístico resuelve el problema, y que el mix óptimo derivado del modelo tiene una gran varianza. Chan y Perry recuerdan que la relación estimada puede cambiar radicalmente ante pequeños cambios de datos, que los anunciantes suelen permanecer en un rango de gasto estrecho, y que el presupuesto observado arrastra un sesgo de selección. Chen, Zhang, Han y Lim describen la práctica corriente de estimación en varias etapas y proponen estimar conjuntamente persistencia, forma y escala. Heusch propone juzgar un modelo por su capacidad de recuperar una verdad conocida en vez de por su ajuste, y señala que los generadores sintéticos producen un gasto exógeno. Debe decirse una reserva: de estas cuatro fuentes, solo una tiene revisión por pares. Las dos afirmaciones en las que más se apoya este dosier proceden de informes técnicos publicados abiertamente por sus autores, no de artículos revisados; ahí es donde se formulan pública y precisamente, y el cálculo de este dosier se sostiene por sí mismo. Referencias fundacionales: Jin et al. (2017) y Chan & Perry (2017), informes técnicos de Google, sin revisión. Desarrollos recientes: Chen et al. (2021, preprint en arXiv; publicado en Journal of Applied Statistics, con revisión) y Heusch (2026, preprint en arXiv, sin revisión).

1. Jin, Wang, Sun, Chan & Koehler (2017) ↗Texto completo verificado, con extracto breve localizado en la fuente.
2. Chan & Perry (2017) ↗Texto completo verificado, con extracto breve localizado en la fuente.
3. Chen, Zhang, Han & Lim (2021) ↗Texto completo verificado, con extracto breve localizado en la fuente.
4. Heusch (2026) ↗Texto completo verificado, con extracto breve localizado en la fuente.