¿Cuánto vale un cliente que compra como mucho una vez por temporada?

Algunos clientes solo pueden comprar en ocasiones fijas: un forfait por temporada, un donativo por campaña anual, un pedido por catálogo ^[C01]. Sin suscripción, nadie avisa cuando se va: la empresa solo ve un silencio, que puede ser un abandono o una simple pausa ^{[C02, C03]}. Predominan dos atajos: prolongar el ritmo de compra pasado de cada cliente, o dar por perdido a cualquiera que permanezca en silencio dos temporadas. El modelo beta-geométrico/beta-Bernoulli (BG/BB) de Fader, Hardie y Shang responde a las dos preguntas a la vez: ¿sigue comprando el cliente, y sigue estando ahí?

Con datos sintéticos simulados con el propio modelo BG/BB, que por tanto es correcto por construcción, se observan 4.000 clientes durante seis temporadas; los métodos se juzgan con las cinco siguientes. Prolongar el ritmo pasado para siempre, como si nadie se fuera, sobrestima las compras futuras en un 43,2 % y el valor de la base de clientes en un 74,3 %; amortiguado al ritmo al que disminuye el número de compradores, ese ritmo subestima el valor en un 13,7 %. La regla de inactividad descarta a 2.441 clientes, que sin embargo hacen 707 compras en las cinco temporadas siguientes. El BG/BB prevé 5.033,2 compras frente a 5.099 observadas (−1,3 %, una desviación del orden del azar) y valora la base en 1.227.640 €, frente a 1.256.437 € con los parámetros verdaderos: es la parte aún por llegar del valor de vida del cliente (CLV). Dos reservas: el 52,9 % de ese valor se sitúa más allá de las cinco temporadas verificables, y la tasa de descuento pesa mucho.

Una estación de esquí vende forfaits de temporada. No hay suscripción: cada otoño, el cliente vuelve a comprar un forfait o no. Si no lo compra, la estación no sabe si ha dejado de esquiar allí o si se toma un año de pausa. En una misma temporada, 4.000 clientes compraron su primer forfait. La estación ha observado las seis temporadas siguientes: de cada uno sabe cuántos forfaits ha vuelto a comprar y a qué temporada se remonta el último. Cada forfait le deja un margen de 150 €.

La dirección plantea dos preguntas: cuánto vale esta cohorte de clientes, y si conviene seguir contactando a quienes no han vuelto a comprar nada desde hace dos temporadas — la regla interna los da por perdidos y los retira de la lista de la campaña de reactivación.

Los datos de esta página son sintéticos. La probabilidad de comprar en una temporada dada, mientras el cliente sigue ahí, varía de un cliente a otro según una distribución beta (una forma de describir cómo se reparte una probabilidad entre los clientes) de parámetros 1,0 y 0,8, es decir, un 55,6 % de media; la probabilidad de irse definitivamente al comienzo de una temporada sigue una distribución beta de parámetros 0,5 y 2,5, es decir, un 16,7 % de media. Para juzgar los métodos, se simulan cinco temporadas adicionales, de la 7 a la 11, que después se apartan.

Para un cliente del que solo se conocen el número de recompras en seis temporadas y la temporada de su última recompra, ¿cuántas compras cabe esperar en las temporadas siguientes, y cuánto vale hoy ese flujo de compras? Los autores llaman DERT (discounted expected residual transactions) al número de compras futuras esperadas, cada una descontada a hoy; multiplicado por el margen, da el valor residual del cliente ^[C14]. La dificultad cabe en una frase: el único indicio de un abandono es un silencio inusualmente largo, y hay que distinguir a los clientes que se han ido de los que hacen una larga pausa ^[C03].

Tres trampas habituales:

• Prolongar el ritmo observado. Un cliente que ha vuelto a comprar 4 forfaits en 6 temporadas «vale» 4/6 de forfait por temporada, para siempre, como si nadie se fuera. Pero un cliente con un historial perfecto puede haber tenido suerte, y puede irse ^[C23]; a la inversa, un cliente poco frecuente pero reciente vale más que su ritmo pasado. Amortiguar ese ritmo a la tasa a la que se mantiene el número de compradores de la cohorte de una temporada a otra, aquí un 91,5 %, acerca el nivel de conjunto sin corregir las diferencias entre clientes.
• La regla de inactividad. Dos temporadas sin compra, y el cliente se da por perdido. La regla mira la recencia, pero corta en seco donde haría falta una probabilidad: un cliente que compraba una temporada de cada dos no está en la misma situación que un cliente que compraba todas las temporadas y dejó de hacerlo.
• Un modelo en tiempo continuo. El modelo Pareto/NBD (Pareto/binomial negativa), referencia para compras en cualquier momento, supone compras según una distribución de Poisson, la de sucesos que ocurren al azar en cualquier momento. Cuando el número de compras por periodo tiene un tope, un proceso de Bernoulli — comprar o no en cada ocasión — es más adecuado ^[C04]; con datos de donativos anuales, el Pareto/NBD se ajusta mal ^[C33].

Un modelo más elaborado tiene en cuenta las diferencias entre clientes pero no los abandonos: el beta-Bernoulli (BB), referencia natural cuando se supone que el cliente nunca se va y solo reparte sus compras entre varios proveedores ^[C37]. No capta la «fuga» de clientes ^[C38]; con los datos de los autores, sobrestima en un 20 % el acumulado de recompras al final de la validación ^[C20].

El modelo BG/BB cuenta la historia siguiente ^[C06]:

1. al comienzo de cada temporada, un cliente aún «vivo» puede irse definitivamente, con una probabilidad θ propia ^[C08];
2. si sigue ahí, compra con una probabilidad p propia, sin memoria de sus compras pasadas ^[C07];
3. p y θ varían de un cliente a otro según dos distribuciones beta ^[C09], independientes entre sí ^[C10].

Todo el historial de un cliente se resume entonces en dos números, su frecuencia (el número de recompras) y su recencia (la temporada de su última recompra) ^[C11]. La historia explica dos efectos que ningún atajo reproduce. Un cliente que compraba todas las temporadas y lleva tres en silencio probablemente se ha ido: su silencio es demasiado largo para su ritmo. Un cliente que compraba poco y lleva el mismo tiempo en silencio quizá solo siga su ritmo lento. A igual recencia, cuando la última compra es lejana, haber comprado mucho puede ser, por tanto, una mala señal ^[C28].

Para cada cliente, sobre la misma serie de ocasiones: su frecuencia y su recencia, siendo la recencia la temporada de la última compra y no el tiempo transcurrido desde entonces — la convención difiere de la del marketing directo ^[C12]. Basta una tabla de recuentos: con seis temporadas solo existen 22 combinaciones de frecuencia y recencia, sea cual sea el número de clientes ^[C11]. La estimación y los resultados principales se calculan en una hoja de cálculo ^[C13].

También hacen falta el margen por compra y una tasa de descuento expresada por ocasión: con una ocasión al año, la tasa anual sirve tal cual, aquí el 10 % ^[C16]. Valorar el DERT con un margen único supone que el importe por compra es independiente del ritmo de compra y estable en el tiempo ^[C15]; si no, hace falta un modelo aparte para los importes ^[C39]. Los propios autores solo modelizan si hay un donativo cada año, y dejan de lado su importe ^[C46].

Esta sección está dirigida al especialista. Quien toma decisiones puede saltársela y continuar en «El cálculo declarado»: basta con la frase «En pocas palabras» que la cierra.

• n: el número de ocasiones observadas, aquí 6 temporadas; h: el horizonte de previsión, aquí 5 temporadas; k: el rango de una temporada futura, k = 1 para la temporada 7.
• x: el número de recompras en las n temporadas; tₓ: la temporada de la última recompra, 0 si x = 0 ^[C12]. Yₙ₊ₖ vale 1 si el cliente compra en la ocasión n + k, 0 en caso contrario; X es el número de compras en el horizonte h; E[·] designa la esperanza, la media esperada.
• p: la probabilidad de que un cliente que sigue ahí compre en una ocasión; θ: la probabilidad de que se vaya definitivamente al comienzo de una ocasión ^{[C07, C08]}.
• p sigue una distribución beta de parámetros α y β, de media α / (α + β); θ, una distribución beta de parámetros γ y δ, de media γ / (γ + δ) ^[C09]. B(a, b) designa la función beta.
• Verosimilitud de un historial: L(x, tₓ) = [B(α + x, β + n − x) / B(α, β)] × [B(γ, δ + n) / B(γ, δ)] + Σᵢ [B(α + x, β + tₓ − x + i) / B(α, β)] × [B(γ + 1, δ + tₓ + i) / B(γ, δ)], donde i, de 0 a n − tₓ − 1, cuenta las temporadas que el cliente pasó tras su última compra antes de irse. El primer término corresponde a un cliente que siguió ahí las n temporadas.
• Log-verosimilitud: LL = Σⱼ fⱼ ln L(xⱼ, tₓⱼ), sobre las 22 combinaciones j, donde fⱼ es el número de clientes de la combinación y ln el logaritmo neperiano. Se buscan los valores de α, β, γ y δ que la hacen máxima.
• E[Yₙ₊ₖ] = [B(α + x + 1, β + n − x) / B(α, β)] × [B(γ, δ + n + k) / B(γ, δ)] / L(x, tₓ): la probabilidad de que el cliente siga ahí en la ocasión n + k y compre en ella, dado su historial. En el horizonte: E[X] = E[Yₙ₊₁] + … + E[Yₙ₊ₕ].
• P(vivo) = [B(α + x, β + n − x) / B(α, β)] × [B(γ, δ + n + 1) / B(γ, δ)] / L(x, tₓ): la parte de la verosimilitud del historial que corresponde a un cliente que sigue ahí en la ocasión n + 1.
• d: tasa de descuento por ocasión. DERT = Σₖ E[Yₙ₊ₖ] / (1 + d)ᵏ, para k ≥ 1: la primera compra futura se descuenta una temporada ^{[C14, C51]}. Valor residual: m × DERT, donde m es el margen por compra ^[C15].
• Atajos: el ritmo prolongado vale m × (x / n) / d; el ritmo amortiguado prevé (x / n) × gᵏ compras en la ocasión n + k, donde g es la tasa media a la que se mantiene el número de compradores de una temporada a otra, y vale m × (x / n) × g / (1 + d − g).

En pocas palabras: cada cliente conserva su propio ritmo de compra y su propio riesgo de irse; un silencio largo hace subir la probabilidad de que se haya ido, tanto más deprisa cuanto más sostenido era su ritmo pasado.

1. Control del código antes de usarlo. Los dos programas vuelven a estimar el modelo con la tabla de las 22 combinaciones publicada por los autores — 11.104 primeros donantes de una organización sin ánimo de lucro, seguidos durante seis años ^[C17] — y recuperan sus estimaciones: α = 1,204, β = 0,750, γ = 0,657, δ = 2,783, log-verosimilitud −33.225,6; para el BB, α = 0,487 y β = 0,826 ^[C18]. También recuperan los 22 valores de su tabla 5 ^[C21] y los de su tabla 6 ^[C29], y en caso contrario se detienen con un error.
2. Cohorte sintética, simulada con el modelo BG/BB mediante un generador de números pseudoaleatorios escrito explícitamente (semilla 20261005; x ← 1103515245 · x + 12345 mod 2³¹), para que Python y R generen los mismos números.
3. Calibración con las seis primeras temporadas, resumidas en 22 recuentos; las temporadas de la 7 a la 11 se apartan.
4. Estimación del BG/BB y del BB por máxima verosimilitud (algoritmo del símplex de Nelder-Mead, que busca el máximo paso a paso, relanzado hasta que se estabiliza); tanto con los datos de los autores como con la cohorte, un punto de partida de 0,01 para los cuatro parámetros lleva al mismo óptimo.
5. Cinco previsiones, cliente por cliente: ritmo prolongado y regla de inactividad, ambos prolongados sin fin y sin abandonos, con la regla en cero tras dos temporadas sin compra; ritmo amortiguado al ritmo al que disminuye el número de compradores; BB; BG/BB. Referencia: la esperanza calculada con los parámetros verdaderos.
6. Valores: 150 € por forfait, descuento del 10 % por temporada, series de 2.000 términos.
7. Incertidumbre: bootstrap paramétrico — 1.000 cohortes simuladas a partir de los parámetros estimados, cada una reestimada; intervalo del 25.º al 975.º valor ordenado, es decir, un 95 % aproximadamente.
8. Repetición con 100 cohortes independientes simuladas con los parámetros verdaderos; el ritmo amortiguado, que exige los compradores temporada a temporada, no figura en ella.
9. Sensibilidad a la tasa de descuento, al 5 % y al 15 %, y parte del valor más allá de las temporadas 11, 16 y 26.
10. Invariantes: 15 identidades, entre ellas la igualdad entre el DERT calculado como serie y la fórmula cerrada de los autores; los programas se detienen si una falla.

Los datos. En seis temporadas, los 4.000 clientes vuelven a comprar 8.762 forfaits. 435 vuelven a comprar todas las temporadas; 1.271, es decir, el 31,8 %, no han vuelto a comprar ningún forfait en estas seis temporadas; 2.441, es decir, el 61,0 %, no han comprado nada en las dos últimas, y la regla interna los da por perdidos.

Las estimaciones. El BG/BB da α = 0,882, β = 0,744, γ = 0,574 y δ = 3,342, es decir, una probabilidad media de compra del 54,2 % (intervalo del 95 % aproximadamente: del 51,8 % al 56,8 %) y una probabilidad media de abandono del 14,7 % por temporada (del 11,8 % al 17,8 %), para unos valores verdaderos del 55,6 % y el 16,7 %. Se ajusta mucho mejor que el BB: log-verosimilitud −12.227,6 frente a −12.732,6.

La previsión, juzgada con las temporadas apartadas.

El azar por sí solo hace variar este total en unas 71,2 compras (una desviación típica, es decir, un 1,4 %): la desviación del BG/BB no se distingue de él. El total de la regla de inactividad parece aceptable; su composición no lo es. Compras medias por cliente en las temporadas de la 7 a la 11, según la temporada de la última recompra:

La regla pone a cero a clientes que siguen comprando, y sobrestima a los que acaban de comprar.

Seis perfiles de clientes. Compras esperadas en las temporadas de la 7 a la 11 y valor residual descontado por cliente:

La contracción actúa en los dos sentidos: un cliente con una sola recompra, pero en la temporada 6, vale más que su ritmo pasado.

El valor de la cohorte.

Los dos primeros atajos valoran el ritmo pasado para siempre, sin abandonos: es sobre todo esa hipótesis la que infla su valor. Amortiguado, el ritmo subestima el valor: trata a todos los clientes por igual y no ve que los fieles se quedan. La magnitud de estas desviaciones depende también de la tasa de abandono elegida para la simulación.

Los 2.441 clientes que la regla da por perdidos aportan aún, según el BG/BB, 175.833 € de valor esperado si nada cambia, es decir, el 14,3 % de la cohorte; en las temporadas de la 7 a la 11, 366 de ellos vuelven y compran 707 forfaits, frente a 720,9 previstos. Los 1.271 clientes sin ninguna recompra valen 28,17 € cada uno, es decir, 35.805 € en total, el 2,9 % del valor.

Lo que el historial no verifica. El valor BG/BB de la cohorte se sitúa en un 52,9 % más allá de la temporada 11, la última apartada, en un 29,1 % más allá de la temporada 16 y en un 9,4 % más allá de la temporada 26.

La tasa de descuento. Al 5 % por temporada, el valor BG/BB de la cohorte sube a 2.087.835 €, frente a 2.164.955 € con los parámetros verdaderos; al 15 %, baja a 881.456 €, frente a 897.102 €. Esta elección, que corresponde a la dirección financiera, pesa mucho más que la incertidumbre de estimación.

Con 100 cohortes independientes, las compras previstas para las temporadas de la 7 a la 11 se desvían de su esperanza calculada con los parámetros verdaderos un +44,2 % de media con el ritmo prolongado (desviación típica 0,8 %), un +10,6 % con la regla de inactividad (0,7 %) y un −0,3 % con el BG/BB (1,9 %). El ritmo prolongado sobrestima esa esperanza en 100 simulaciones de 100; la desviación media del BG/BB no se distingue de cero, ya que su error de simulación es del 0,2 %.

• Ocasiones fijas, como mucho una compra por ocasión ^{[C01, C04]}. Si el cliente puede comprar varias veces por periodo, la dirección puede optar por contar solo si hubo compra, como para un comportamiento poco frecuente ^[C05]; se pierde entonces la información sobre el número de compras. ¿Compran a veces sus clientes dos forfaits en la misma temporada, para un familiar?
• Un abandono definitivo ^[C06]. Aplicar un modelo de abandono definitivo a clientes que nunca se van del todo subestima sistemáticamente su valor, según Rust y sus colegas, citados por los autores ^[C50]. ¿Una parte de sus clientes se ausenta unas temporadas, durante una estancia en el extranjero, antes de volver?
• Un ritmo individual constante, sin memoria de las compras pasadas ^[C07]. ¿Compran sus clientes más a menudo a medida que se encariñan con la estación, o menos a medida que crecen sus hijos?
• La independencia entre ritmo de compra y riesgo de abandono ^[C10]. Con los datos de donativos de los autores, no se cumple ^[C34]: la correlación estimada es de 0,361 ^[C35]. Permitir esa correlación en el modelo deja las previsiones cercanas en conjunto, con algunas diferencias notables — 3,59 compras en lugar de 3,75 para un donante con un historial perfecto ^[C36] — y mejora claramente el ajuste, con un χ² que pasa de 47,9 a 4,8 ^[C48]; los autores consideran incierta la relación coste-beneficio ^[C49]. ¿Sus clientes más asiduos son también los más fieles?
• Una política comercial futura parecida a la pasada: el modelo ignora el efecto de las acciones de marketing ^[C40] y supone que seguirán siendo más o menos las mismas ^[C41]. ¿Cambiaron precios, dominio esquiable o canal de venta durante el periodo observado?
• Un margen por compra constante e independiente del ritmo ^{[C15, C39]}. ¿Disfrutan sus clientes fieles de una tarifa reducida?
• Una cohorte representativa: los autores recomiendan estimar el modelo por separado según la fecha o el canal de captación ^[C44]. Una cohorte que solo ha tenido una ocasión de compra desde su captación no permite estimar el modelo; entonces se pueden agrupar las cohortes con parámetros comunes, a costa de una hipótesis quizá restrictiva ^[C32]. ¿Se comportan sus clientes captados en línea como los captados en taquilla?
• Lo que los datos no pueden zanjar: el carácter definitivo del abandono, ya que un abandono y una pausa muy larga dejan el mismo silencio ^[C03], y la estabilidad futura de la política comercial. Los demás supuestos se controlan: la validación fuera de muestra para el ritmo constante, un modelo ampliado para la independencia ^[C34], la facturación para el margen.

• Validación fuera de muestra: con datos reales, apartar las últimas temporadas y comparar, por recencia y por frecuencia, compras previstas y observadas. Aquí, el BG/BB prevé el total con una desviación del −1,3 %, y 1.667,5 clientes que compran al menos una vez en las temporadas de la 7 a la 11, frente a 1.690 observados. Con los datos de donativos, sus previsiones siguen el acumulado de recompras durante los seis años de calibración y los cinco de validación ^[C19]; su único defecto notable es subestimar las compras de los donantes cuyo último donativo era antiguo ^[C47], una parte del segmento que la regla de inactividad descarta. Esta validación solo cubre cinco temporadas, mientras que el 52,9 % del valor se sitúa más allá.
• Preferir una magnitud observable: la probabilidad de seguir ahí se refiere a un estado que nadie observa; la de comprar al menos una vez en un periodo futuro sí puede comprobarse ^[C31].
• El error a escala de un cliente: la desviación absoluta media entre compras previstas y observadas es de 0,747 por cliente para el BG/BB y de 0,745 con los parámetros verdaderos: domina el azar individual. La regla de inactividad obtiene 0,689, porque este criterio premia una previsión de cero para los clientes con pocas probabilidades de comprar; la mediana prevista por el BG/BB, en lugar de su media, obtiene 0,653. Una esperanza se juzga por grupos.
• Ajuste: el χ² (una medida de la diferencia entre recuentos previstos y observados) sobre las 22 combinaciones vale 20,98 para 17 grados de libertad, una probabilidad de 0,23: una diferencia que el azar explica sin dificultad. La razón de verosimilitud, que mide cuánto mejor se ajusta el BG/BB que el BB, vale 1.010,1; como el BB solo se alcanza en el límite en que γ tiende a cero, la distribución habitual de esta razón no se aplica, pero una diferencia así sigue siendo abrumadora.
• Incertidumbre de estimación, por bootstrap paramétrico: el intervalo de confianza del 95 % aproximadamente de las compras esperadas en las temporadas de la 7 a la 11 va de 4.781,6 a 5.232,2; el del valor de la cohorte, de unos 1.091.000 € a 1.327.000 €; el del valor de un cliente con 6 recompras de 6, de 847,92 € a 1.003,04 €. Estos intervalos se refieren a la esperanza, no a lo que harán los clientes; suponen que el modelo es correcto y no cubren ni el error de modelo ni la incertidumbre sobre el margen o la tasa de descuento.
• Lo que la simulación no demuestra: los datos se simulan con un modelo BG/BB, correcto por construcción. La simulación mide el coste de los atajos cuando ese modelo es cierto; no demuestra que convenga a sus clientes.

El ritmo prolongado y el BB tratan a cada cliente como si siguiera ahí; ignoran la fuga de clientes ^[C38]. Del cliente perfecto, 6 recompras de 6, no se esperan 5 compras en las cinco temporadas siguientes, sino 3,86 de media: puede haber tenido suerte, y puede irse ^[C23]. Los autores encuentran la misma contracción entre sus donantes, 3,75 compras esperadas en cinco años ^[C22].

La regla de inactividad mira la variable correcta, la recencia ^[C25], pero la convierte en una guillotina. Compare dos clientes: 5 recompras con una última compra en la temporada 5 dan 2,04 compras esperadas; 4 recompras con una última compra en la temporada 6, 2,74. El cliente con una recompra menos, pero más reciente, vale más — los autores observan la misma inversión entre dos donantes, 1,81 frente a 2,71 ^[C24]. A la inversa, un cliente con 3 recompras seguidas y luego tres temporadas de silencio lo más probable es que haya dejado la estación: solo le queda una probabilidad de 0,14 de seguir ahí, frente a 0,94 para todos los que compraron en la temporada 6, sea cual sea su frecuencia ^[C30]. El ritmo prolongado aún le atribuye 2,50 compras; el BG/BB, 0,32.

Por último, los clientes sin ninguna recompra pesan poco uno a uno, sin ser nulos en conjunto: aquí el 2,9 % del valor. Entre los donantes de los autores, los que no hicieron ningún nuevo donativo, más del 30 % de la cohorte, deberían hacer más de 240 donativos en cinco años, más que aproximadamente la mitad de los demás grupos ^{[C26, C27]}.

• Permitido: «En esta cohorte, si el modelo BG/BB es correcto y con un descuento del 10 % por temporada, el valor residual esperado es de unos 1.228.000 € de margen descontado, con un intervalo de confianza del 95 % aproximadamente de 1.091.000 € a 1.327.000 €».
• Permitido: «En esta simulación, prolongar el ritmo de compra pasado sobrestima la esperanza de las compras de las cinco temporadas siguientes en 100 simulaciones de 100».
• Permitido: «Los clientes en silencio desde hace dos temporadas no están perdidos en bloque: si nada cambia, aún aportan el 14,3 % del valor esperado».
• Prohibido: decir que un cliente concreto se ha ido, o que volverá. El modelo da probabilidades y esperanzas; seguir ahí y estar activo son dos cosas distintas ^[C31].
• Prohibido: concluir que una campaña de reactivación hará volver a los clientes silenciosos. El modelo prevé lo que ocurrirá si la política comercial sigue igual ^[C41]; no mide el efecto de una acción ^[C40].
• Prohibido: presentar estas cifras como un resultado de mercado; los datos son sintéticos.

• No dar por perdidos, por una regla, a clientes que siguen comprando. Ordenar a los clientes por compras esperadas — el orden por valor descontado es el mismo ^[C52] — dice dónde están, no lo que una campaña de reactivación les haría hacer: su margen esperado es el de una política sin cambios. Para saber si contactar a los clientes silenciosos rinde más de lo que cuesta, hace falta un experimento, con un grupo de control al que no se contacta. Si después se dirigen acciones según los resultados del modelo, hay que reestimarlo con los datos actualizados; sus previsiones ofrecen entonces una base poco costosa para seguir el efecto de esas acciones ^[C42], y un modelo que integre las acciones de marketing deberá tratar la endogeneidad de la selección de destinatarios, es decir, el hecho de que los clientes seleccionados ya difieren de los demás ^[C45].
• Valorar la base con prudencia. Unos 1.228.000 €, pero más de la mitad de ese valor se sitúa más allá del horizonte verificable, y según sea la tasa elegida del 15 % o del 5 %, va de 881.456 € a 2.087.835 €, más del doble. El importe sigue siendo una decisión de la dirección financiera.
• Hacer seguimiento. Reestimar el modelo cada temporada y comparar sus previsiones con lo observado ^[C43]; estimarlo por separado para cada cohorte de captación y cada canal ^[C44].

La decisión sigue siendo humana y compromete a la dirección comercial y a la dirección financiera.

• Usar: compras ligadas a ocasiones fijas — forfait de temporada, campaña anual de donativos, respuesta a un catálogo, inscripción en un evento anual ^[C01] — o comportamientos poco frecuentes que se decide contar por periodo ^[C05], sin suscripción ni abandono declarado ^[C02].
• No usar con una suscripción, en la que la empresa ve irse a sus clientes: véase la página sobre el valor de un suscriptor, o la del análisis de la retención y la supervivencia.
• No usar cuando las compras pueden producirse en cualquier momento y en cualquier número: la herramienta adecuada es entonces el modelo BG/NBD — véase la página sobre la estimación del CLV no contractual, que también trata los importes por compra.
• No usar en solitario para dirigir una acción: el modelo ignora el efecto del marketing ^[C40]; para identificar a los clientes en riesgo a partir de variables explicativas, véase la página sobre la predicción del churn con regresión logística.
• Para juzgar una previsión con temporadas apartadas, véase la página sobre la validación de un pronóstico de marketing.

• Python 3.14.5, solo biblioteca estándar: msc-p044-reference.py, se ejecuta con python msc-p044-reference.py
• R 4.6.1, solo base: msc-p044-reference.R, se ejecuta con Rscript msc-p044-reference.R
• Los dos programas imprimen exactamente las mismas líneas; su huella sha256, tras normalizar los finales de línea, consta en el manifiesto del expediente. Semilla declarada 20261005. Ninguna biblioteca de terceros: el software no valida el método, lo reproduce.

La tabla de las 22 combinaciones de frecuencia y recencia, los cuatro parámetros estimados, la validación por recencia y por frecuencia con las temporadas apartadas, el valor de cada combinación y de la cohorte con su intervalo, su parte más allá del horizonte verificado, su sensibilidad a la tasa de descuento y los supuestos que hay que comprobar antes de decidir.

• Fader, P. S., Hardie, B. G. S. & Shang, J. (2010). Customer-Base Analysis in a Discrete-Time Noncontractual Setting. Marketing Science 29(6), 1086–1108. ↗ — versión publicada, distribuida por INFORMS como cortesía a los autores, texto completo verificado ^[C01–C52].
• Nivel de evidencia: demostración con datos sintéticos simulados con el propio modelo, una simulación detallada, un bootstrap de 1.000 cohortes y 100 simulaciones repetidas, reproducible en Python y en R; código controlado con los valores publicados por los autores, a partir de sus datos de donativos. No es un resultado de mercado.