Comment modéliser saturation et adstock ?

Un modèle de réponse média — rémanence puis saturation — est ajusté sur 560 combinaisons de paramètres déclarées. La meilleure explique 0,938098 de la variance. Mais huit combinaisons expliquent les données à moins de 1 % près, et parmi elles la courbure va de 0,600000 à 1,400000 et le point de demi-saturation de 25 à 65 : la courbe n’est pas déterminée. Ce qui l’est, c’est la rémanence, retrouvée exactement à 0,600000, et le rendement d’une unité de dépense supplémentaire, compris entre 1,478765 et 1,586695. Verdict : RESPONSE_CURVE_IDENTIFIED_FOR_REALLOCATION.

Une direction média doit arbitrer un budget hebdomadaire. Son modèle de mix explique très bien l’historique et produit une courbe de réponse lisse, assortie d’un point de saturation chiffré. La question posée avant de déplacer un euro est celle-ci : cette courbe est-elle la seule compatible avec les données, ou bien d’autres courbes, très différentes, les expliqueraient-elles aussi bien ? La réponse change complètement ce qu’on a le droit de faire du modèle.

Pour ces 156 semaines, ce modèle déclaré et cette grille déclarée de 560 combinaisons, quelles combinaisons de rémanence, de courbure et de point de demi-saturation expliquent les données à moins de 1 % près de la meilleure ? Et ces combinaisons s’accordent-elles sur la seule quantité qu’un arbitrage utilise vraiment, le rendement d’une unité de dépense supplémentaire au niveau de dépense actuellement observé ? La question ne porte pas sur la qualité de l’ajustement, mais sur ce que les données déterminent réellement.

Prendre la combinaison qui ajuste le mieux et lire ses paramètres comme des grandeurs est l’erreur centrale de cette famille de modèles. Rien dans un bon ajustement ne garantit que les paramètres sont déterminés : rémanence, courbure et point de demi-saturation se compensent entre eux, si bien que des courbes très différentes se superposent presque sur la plage de dépense observée. Sur ce fichier, la meilleure combinaison donne une courbure de 1,000000 et un point de demi-saturation de 45, alors que les valeurs qui ont réellement engendré les données sont 1,80 et 55 — et leur ajustement n’est que 2,556023 % moins bon.

La méthode consiste à ne pas s’arrêter au meilleur ajustement. On parcourt une grille déclarée de combinaisons, on ajuste chacune, puis on garde toutes celles qui expliquent les données à moins de 1 % près de la meilleure : c’est l’ensemble que les données ne savent pas séparer. On regarde alors deux choses dans cet ensemble. Les paramètres y sont-ils resserrés ? Et surtout, s’accordent-ils sur le rendement d’une unité de dépense supplémentaire, qui est la seule quantité qu’un arbitrage consomme ? Un ensemble large de paramètres peut parfaitement s’accorder sur ce rendement, et c’est ce qui décide.

Sont figés avant toute lecture : la numérotation des semaines sans trou, la dépense média hebdomadaire, le chiffre d’affaires hebdomadaire, la forme du modèle, l’initialisation de la rémanence à zéro, l’ordre des transformations — rémanence d’abord, saturation ensuite —, la base composée d’une constante, d’une tendance linéaire et de deux harmoniques annuelles, la grille de 560 combinaisons, la tolérance de 1 % qui définit la région, le niveau de dépense auquel le rendement marginal est lu, et les deux seuils. Le fichier scellé contient 156 semaines. Le cas est synthétique et déclaré comme tel.

La rémanence cumule la dépense passée : A(t) = x(t) + λ·A(t−1), avec A(0) = 0 et λ le taux de report. La saturation transforme ce stock en une part comprise entre zéro et un : S(t) = A(t)^β / (γ^β + A(t)^β), où β règle la courbure et γ est le niveau auquel la part atteint exactement la moitié. Cette part entre linéairement à côté de la base, et son coefficient donne l’amplitude. Le rendement d’une unité supplémentaire est la dérivée de la réponse par rapport au stock, lue au stock moyen de la combinaison considérée.

Le calcul déclaré enchaîne sept étapes : valider le schéma et refuser tout fichier non conforme ou trop court ; construire les colonnes de base ; pour chaque taux de report déclaré, construire une fois la série de rémanence et enregistrer son niveau moyen ; pour chacune des 560 combinaisons, construire le régresseur saturé et résoudre en forme close les sept paramètres linéaires par élimination de Gauss avec pivot partiel, en refusant un plan singulier ; retenir la combinaison de plus petite somme des carrés résiduels et rassembler toutes celles qui en sont à moins de 1 % ; dans cette région, calculer l’étendue de chaque paramètre et l’intervalle du rendement marginal, en refusant un rendement marginal non positif ; appliquer les deux seuils déclarés, puis la règle de verdict.

Illustration synthétique — valeurs pédagogiques, non observées

Sur le fichier scellé : 156 semaines, 560 combinaisons. La meilleure a une rémanence de 0,600000, une courbure de 1,000000, un point de demi-saturation de 45 et une amplitude de 629,019162 ; elle explique 0,938098 de la variance avec un écart type résiduel de 25,033965. Huit combinaisons tiennent dans la tolérance de 1 %. Dans cette région, la rémanence va de 0,600000 à 0,600000, étendue nulle, contrôle réussi ; la courbure va de 0,600000 à 1,400000 et le point de demi-saturation de 25 à 65. Le rendement marginal va de 1,478765 à 1,586695, soit un rapport de 1,072987, contrôle réussi ; la meilleure combinaison en donne 1,535957. Les vrais paramètres ne sont pas dans la région, leur ajustement étant 2,556023 % moins bon, et ils impliquent un rendement de 1,539121. Verdict : RESPONSE_CURVE_IDENTIFIED_FOR_REALLOCATION.

Le modèle suppose que la rémanence est géométrique et sans délai de pic, que la saturation suit cette forme précise, que la base capte bien tendance et saisonnalité, et que la dépense n’a pas été planifiée en fonction de ce qu’on cherche à mesurer. Cette dernière hypothèse est la plus lourde et la seule qui compte vraiment : dans ce cas synthétique elle est vraie par construction, dans la vie elle est presque toujours fausse. Trois choses ne sont pas testables ici : la forme fonctionnelle elle-même, ce qui se passerait à un niveau de dépense jamais observé, et l’effet causal d’un déplacement de budget.

Le diagnostic décisif tient en une comparaison. La qualité d’ajustement est élevée, 0,938098, et ne dit rien : elle serait presque identique pour huit combinaisons différentes. L’étendue des paramètres dans la région dit beaucoup plus : la rémanence est fixée, la courbure varie du simple au plus du double, le point de demi-saturation varie de 25 à 65. Et pourtant l’intervalle du rendement marginal reste étroit, 1,072987 de rapport. Le cas étant synthétique, on peut vérifier ce qu’aucune analyse réelle ne permet : le vrai rendement, 1,539121, tombe bien dans cet intervalle, alors même que les vrais paramètres en sont exclus.

Alternatives déclarées avant résultat : imposer des contraintes de signe et estimer tous les paramètres simultanément plutôt qu’en deux temps ; resserrer la grille autour de la meilleure combinaison pour voir si la région se réduit ; remplacer la rémanence géométrique par une forme autorisant un délai de pic ; ou remplacer la lecture observationnelle par une expérience géographique qui fait varier la dépense de façon contrôlée. Chaque variante doit être annoncée avant lecture et rapportée même si elle élargit la région.

Le résultat exploitable est une pente locale, pas une courbe. Au niveau de dépense observé, une unité supplémentaire rapporte environ 1,54, et cette valeur est robuste à tout ce que les données ne savent pas trancher. La courbe, elle, n’est pas déterminée : la meilleure combinaison se trompe sur la courbure comme sur le point de demi-saturation, et le fait qu’elle ajuste mieux que les vraies valeurs est une propriété du bruit, pas une découverte. C’est exactement pourquoi ce dossier autorise un ajustement marginal du budget et rien d’autre.

Autorisé : ajuster le budget à la marge autour du niveau observé, en s’appuyant sur le rendement marginal et sur son intervalle ; publier la taille de la région et l’étendue des paramètres à côté de la qualité d’ajustement, jamais l’une sans les autres ; exiger d’un prestataire qu’il fournisse cette région avec toute courbe de réponse livrée ; et conclure que la rémanence est déterminée ici parce que la dépense arrive en salves nettes. Autorisé aussi : dire que ce résultat ne vaut que dans la plage de dépense observée.

Interdit : citer 1,000000 comme la courbure du canal ou 45 comme son point de saturation, alors que huit combinaisons expliquent les données aussi bien et que les vraies valeurs sont ailleurs ; prolonger la courbe au-delà de la plage de dépense observée, où les combinaisons de la région divergent ; lire 0,938098 comme une preuve que le modèle est correct ; présenter le rendement marginal comme l’effet causal d’un déplacement de budget ; ou choisir la tolérance après avoir vu la taille de la région. Interdit également : présenter ce cas synthétique comme une mesure observée.

La décision raisonnable est un déplacement de budget modeste, calibré sur le rendement marginal et borné par son intervalle, à l’intérieur de la plage de dépense déjà pratiquée. Toute ambition plus large — trouver le point de saturation, définir un budget optimal, comparer deux canaux sur leur courbe — demande de faire varier la dépense exprès, par une expérience géographique, plutôt que de lire plus finement un historique qui ne contient pas l’information. Le modèle indique dans quelle direction pousser ; il ne dit pas jusqu’où.

Utiliser ce protocole chaque fois qu’une courbe de réponse média est livrée pour fonder un arbitrage, et avant toute optimisation automatisée de budget. L’éviter quand la dépense a peu varié sur la période, car la région sera alors très large et le protocole ne fera que le constater. L’éviter aussi quand la dépense a été planifiée en fonction des ventes attendues, ce qui est le cas usuel sur données réelles et introduit un biais que ce dossier ne traite pas. Et l’éviter comme substitut à une expérience quand la question porte sur l’effet d’un changement de budget.

Le CSV CC0 contient les 156 semaines synthétiques. Python et R sont les implémentations de référence ; SPSS reprend le même calcul dans un bloc Python ; SAS emploie la même grille mais confie les 560 ajustements à sa propre procédure de régression par groupes, et vérifie les deux drapeaux plutôt que chaque décimale. Le livrable final réunit les données, le dictionnaire des variables, la forme du modèle déclarée, l’ordre des transformations, la grille, la tolérance de région, les deux seuils, les sept étapes numérotées, la meilleure combinaison, la taille de la région et l’étendue de chaque paramètre, l’intervalle du rendement marginal, les trois diagnostics propres au cas synthétique, les deux drapeaux, le verdict et les versions logicielles.

Jin, Wang, Sun, Chan et Koehler posent la forme rémanence puis saturation et notent que les paramètres de la fonction de Hill sont essentiellement non identifiables dans certains cas, que deux courbes très différentes coïncident presque sur la plage observée mais divergent au-dehors, qu’aucune méthode statistique ne résout ce problème, et que le mix optimal issu du modèle a une grande variance. Chan et Perry rappellent que la relation estimée peut changer radicalement pour de petits changements de données, que les annonceurs restent souvent dans une plage de dépense étroite, et que le budget observé porte un biais de sélection. Chen, Zhang, Han et Lim décrivent la pratique courante d’estimation en plusieurs temps et proposent d’estimer conjointement rémanence, forme et échelle. Heusch propose de juger un modèle sur sa capacité à retrouver une vérité connue plutôt que sur son ajustement, et signale que les générateurs synthétiques produisent une dépense exogène. Une réserve doit être dite : sur ces quatre sources, une seule est relue par des pairs. Les deux affirmations sur lesquelles ce dossier s’appuie le plus proviennent de rapports techniques publiés ouvertement par leurs auteurs, non d’articles relus ; c’est là qu’elles sont formulées publiquement et précisément, et le calcul de ce dossier tient par lui-même. Références fondatrices : Jin et al. (2017) et Chan & Perry (2017), rapports techniques Google, non relus. Développements récents : Chen et al. (2021, prépublication arXiv ; publiée dans Journal of Applied Statistics, relue) et Heusch (2026, prépublication arXiv, non relue).

1. Jin, Wang, Sun, Chan & Koehler (2017) ↗Texte intégral vérifié, avec extrait court localisé dans la source.
2. Chan & Perry (2017) ↗Texte intégral vérifié, avec extrait court localisé dans la source.
3. Chen, Zhang, Han & Lim (2021) ↗Texte intégral vérifié, avec extrait court localisé dans la source.
4. Heusch (2026) ↗Texte intégral vérifié, avec extrait court localisé dans la source.