Wie modelliert man Sättigung und Adstock?

Ein Media-Response-Modell — Nachwirkung, dann Sättigung — wird auf 560 erklärten Parameterkombinationen geschätzt. Die beste erklärt 0,938098 der Varianz. Doch acht Kombinationen erklären die Daten auf unter 1 % genau, und unter ihnen reicht die Krümmung von 0,600000 bis 1,400000 und der Halbsättigungspunkt von 25 bis 65: Die Kurve ist nicht bestimmt. Bestimmt sind dagegen die Nachwirkung, exakt bei 0,600000 wiedergefunden, und der Ertrag einer zusätzlichen Ausgabeneinheit, zwischen 1,478765 und 1,586695. Verdikt: RESPONSE_CURVE_IDENTIFIED_FOR_REALLOCATION.

Eine Media-Leitung muss ein Wochenbudget verteilen. Ihr Mix-Modell erklärt die Historie sehr gut und liefert eine glatte Reaktionskurve samt beziffertem Sättigungspunkt. Die Frage vor dem Verschieben eines einzigen Euro lautet: Ist diese Kurve die einzige mit den Daten vereinbare, oder würden andere, sehr verschiedene Kurven sie ebenso gut erklären? Die Antwort verändert vollständig, was man mit dem Modell tun darf.

Welche Kombinationen aus Nachwirkung, Krümmung und Halbsättigung erklären für diese 156 Wochen, dieses erklärte Modell und dieses erklärte Raster aus 560 Kombinationen die Daten auf weniger als 1 % genau gegenüber der besten? Und stimmen diese Kombinationen in der einzigen Größe überein, die eine Budgetentscheidung wirklich nutzt — dem Ertrag einer zusätzlichen Ausgabeneinheit auf dem derzeit beobachteten Ausgabenniveau? Die Frage betrifft nicht die Anpassungsgüte, sondern das, was die Daten tatsächlich festlegen.

Die bestpassende Kombination zu nehmen und ihre Parameter als Größen zu lesen ist der zentrale Fehler dieser Modellfamilie. Nichts an einer guten Anpassung garantiert, dass die Parameter bestimmt sind: Nachwirkung, Krümmung und Halbsättigung gleichen einander aus, sodass sehr verschiedene Kurven über den beobachteten Ausgabenbereich fast zusammenfallen. In dieser Datei liefert die beste Kombination eine Krümmung von 1,000000 und einen Halbsättigungspunkt von 45, während die Werte, die die Daten wirklich erzeugt haben, 1,80 und 55 lauten — und ihre Anpassung ist nur um 2,556023 % schlechter.

Die Methode besteht darin, nicht bei der besten Anpassung stehenzubleiben. Man durchläuft ein erklärtes Raster von Kombinationen, schätzt jede und behält dann alle, die die Daten auf weniger als 1 % genau gegenüber der besten erklären: Das ist die Menge, die die Daten nicht trennen können. In dieser Menge betrachtet man zwei Dinge. Sind die Parameter eng? Und vor allem: Stimmen sie im Ertrag einer zusätzlichen Ausgabeneinheit überein, der einzigen Größe, die eine Budgetentscheidung verbraucht? Eine weite Parametermenge kann in diesem Ertrag durchaus übereinstimmen, und das entscheidet.

Vor jeder Lektüre festgeschrieben: die lückenlose Wochennummerierung, die wöchentlichen Mediaausgaben, der Wochenumsatz, die Modellform, die Initialisierung der Nachwirkung bei null, die Reihenfolge der Transformationen — erst Nachwirkung, dann Sättigung —, die Basis aus Konstante, linearem Trend und zwei Jahresharmonischen, das Raster aus 560 Kombinationen, die 1-%-Toleranz, die die Region definiert, das Ausgabenniveau, auf dem der Grenzertrag gelesen wird, und die beiden Schwellen. Die versiegelte Datei enthält 156 Wochen. Der Fall ist synthetisch und wird so ausgewiesen.

Die Nachwirkung kumuliert vergangene Ausgaben: A(t) = x(t) + λ·A(t−1), mit A(0) = 0 und λ als Übertragsrate. Die Sättigung wandelt diesen Bestand in einen Anteil zwischen null und eins: S(t) = A(t)^β / (γ^β + A(t)^β), wobei β die Krümmung setzt und γ das Niveau ist, auf dem der Anteil genau die Hälfte erreicht. Dieser Anteil geht linear neben der Basis ein, und sein Koeffizient liefert die Amplitude. Der Ertrag einer zusätzlichen Einheit ist die Ableitung der Reaktion nach dem Bestand, gelesen am mittleren Bestand der betrachteten Kombination.

Die deklarierte Berechnung umfasst sieben Schritte: das Schema prüfen und jede abweichende oder zu kurze Datei ablehnen; die Basisspalten bilden; für jede erklärte Übertragsrate die Nachwirkungsreihe einmal bilden und ihr mittleres Niveau festhalten; für jede der 560 Kombinationen den gesättigten Regressor bilden und die sieben linearen Parameter in geschlossener Form per Gauß-Elimination mit Teilpivotisierung lösen, ein singuläres Design ablehnend; die Kombination mit der kleinsten Residuenquadratsumme behalten und alle innerhalb von 1 % sammeln; in dieser Region die Spannweite jedes Parameters und den Bereich des Grenzertrags berechnen, einen nicht positiven Grenzertrag ablehnend; die beiden erklärten Schwellen und dann die Verdiktregel anwenden.

Synthetische Illustration — Lehrwerte, nicht beobachtet

In der versiegelten Datei: 156 Wochen, 560 Kombinationen. Die beste hat eine Nachwirkung von 0,600000, eine Krümmung von 1,000000, einen Halbsättigungspunkt von 45 und eine Amplitude von 629,019162; sie erklärt 0,938098 der Varianz bei einer Residualstandardabweichung von 25,033965. Acht Kombinationen liegen in der 1-%-Toleranz. In dieser Region reicht die Nachwirkung von 0,600000 bis 0,600000, Spannweite null, Prüfung bestanden; die Krümmung reicht von 0,600000 bis 1,400000 und der Halbsättigungspunkt von 25 bis 65. Der Grenzertrag reicht von 1,478765 bis 1,586695, ein Verhältnis von 1,072987, Prüfung bestanden; die beste Kombination liefert 1,535957. Die wahren Parameter liegen nicht in der Region, ihre Anpassung ist um 2,556023 % schlechter, und sie implizieren einen Ertrag von 1,539121. Verdikt: RESPONSE_CURVE_IDENTIFIED_FOR_REALLOCATION.

Das Modell setzt voraus, dass die Nachwirkung geometrisch und ohne verzögerten Höhepunkt verläuft, dass die Sättigung genau dieser Form folgt, dass die Basis Trend und Saisonalität gut erfasst, und dass die Ausgaben nicht nach dem geplant wurden, was gemessen werden soll. Diese letzte Annahme wiegt am schwersten und ist die einzige, die wirklich zählt: In diesem synthetischen Fall trifft sie konstruktionsbedingt zu, im wirklichen Leben fast nie. Drei Dinge sind hier nicht prüfbar: die funktionale Form selbst, was auf einem nie beobachteten Ausgabenniveau geschähe, und die kausale Wirkung einer Budgetverschiebung.

Die entscheidende Diagnose passt in einen Vergleich. Die Anpassungsgüte ist hoch, 0,938098, und sagt nichts: Für acht verschiedene Kombinationen wäre sie fast identisch. Die Spannweite der Parameter in der Region sagt weit mehr: Die Nachwirkung ist fixiert, die Krümmung mehr als verdoppelt sich, der Halbsättigungspunkt reicht von 25 bis 65. Und doch bleibt der Bereich des Grenzertrags eng, ein Verhältnis von 1,072987. Da der Fall synthetisch ist, lässt sich prüfen, was keine reale Analyse erlaubt: Der wahre Ertrag, 1,539121, fällt in diesen Bereich, obwohl die wahren Parameter daraus ausgeschlossen sind.

Vor dem Ergebnis erklärte Alternativen: Vorzeichenrestriktionen setzen und alle Parameter gleichzeitig statt in zwei Stufen schätzen; das Raster um die beste Kombination verengen, um zu sehen, ob die Region schrumpft; die geometrische Nachwirkung durch eine Form mit verzögertem Höhepunkt ersetzen; oder die beobachtende Lesart durch ein geografisches Experiment ersetzen, das die Ausgaben kontrolliert variiert. Jede Variante ist vor der Lektüre anzukündigen und auch dann zu berichten, wenn sie die Region erweitert.

Das nutzbare Ergebnis ist eine lokale Steigung, keine Kurve. Auf dem beobachteten Ausgabenniveau bringt eine zusätzliche Einheit etwa 1,54, und dieser Wert ist robust gegenüber allem, was die Daten nicht klären können. Die Kurve dagegen ist nicht bestimmt: Die beste Kombination irrt sich sowohl in der Krümmung als auch im Halbsättigungspunkt, und dass sie besser passt als die wahren Werte, ist eine Eigenschaft des Rauschens, keine Entdeckung. Genau deshalb erlaubt dieses Dossier eine marginale Budgetanpassung und sonst nichts.

Zulässig: das Budget am Rand um das beobachtete Niveau anzupassen, gestützt auf den Grenzertrag und seinen Bereich; die Größe der Region und die Spannweite der Parameter neben der Anpassungsgüte zu veröffentlichen, nie eines ohne das andere; von einem Dienstleister diese Region zu jeder gelieferten Reaktionskurve zu verlangen; und zu schließen, dass die Nachwirkung hier bestimmt ist, weil die Ausgaben in scharfen Schüben anfallen. Ebenfalls zulässig: zu sagen, dass dieses Ergebnis nur im beobachteten Ausgabenbereich gilt.

Unzulässig: 1,000000 als Krümmung des Kanals oder 45 als seinen Sättigungspunkt zu zitieren, obwohl acht Kombinationen die Daten ebenso gut erklären und die wahren Werte anderswo liegen; die Kurve über den beobachteten Ausgabenbereich hinaus zu verlängern, wo die Kombinationen der Region auseinanderlaufen; 0,938098 als Beleg für die Richtigkeit des Modells zu lesen; den Grenzertrag als kausale Wirkung einer Budgetverschiebung auszugeben; oder die Toleranz nach Sicht der Regionsgröße zu wählen. Ebenfalls unzulässig: diesen synthetischen Fall als beobachtete Messung auszugeben.

Die vernünftige Entscheidung ist eine maßvolle Budgetverschiebung, kalibriert am Grenzertrag und begrenzt durch dessen Bereich, innerhalb des bereits praktizierten Ausgabenbereichs. Jeder weitergehende Anspruch — den Sättigungspunkt finden, ein optimales Budget bestimmen, zwei Kanäle über ihre Kurven vergleichen — verlangt, die Ausgaben absichtlich zu variieren, über ein geografisches Experiment, statt eine Historie feiner zu lesen, die die Information nicht enthält. Das Modell zeigt die Richtung; es sagt nicht, wie weit.

Dieses Protokoll einsetzen, sooft eine Media-Reaktionskurve als Grundlage einer Budgetentscheidung geliefert wird, und vor jeder automatisierten Budgetoptimierung. Meiden, wenn die Ausgaben im Zeitraum kaum variierten, denn dann ist die Region sehr weit und das Protokoll hält das nur fest. Ebenfalls meiden, wenn die Ausgaben nach erwarteten Umsätzen geplant wurden — der Normalfall bei echten Daten —, was eine Verzerrung einbringt, die dieses Dossier nicht behandelt. Und meiden als Ersatz für ein Experiment, wenn nach der Wirkung einer Budgetänderung gefragt wird.

Die CC0-CSV enthält die 156 synthetischen Wochen. Python und R sind die Referenzimplementierungen; SPSS führt dieselbe Berechnung in einem Python-Block aus; SAS nutzt dasselbe Raster, überlässt die 560 Anpassungen aber der eigenen gruppenweisen Regressionsprozedur und prüft die beiden Kennzeichen statt jeder Dezimale. Das Endergebnis vereint die Daten, das Variablenverzeichnis, die erklärte Modellform, die Reihenfolge der Transformationen, das Raster, die Regionstoleranz, die beiden Schwellen, die sieben nummerierten Schritte, die beste Kombination, die Größe der Region und die Spannweite jedes Parameters, den Bereich des Grenzertrags, die drei für den synthetischen Fall spezifischen Diagnosen, beide Kennzeichen, das Verdikt und die Softwareversionen.

Jin, Wang, Sun, Chan und Koehler legen die Form Nachwirkung-dann-Sättigung dar und halten fest, dass die Parameter der Hill-Funktion in manchen Fällen im Wesentlichen nicht identifizierbar sind, dass zwei sehr verschiedene Kurven über den beobachteten Bereich fast zusammenfallen, außerhalb aber auseinanderlaufen, dass kein statistisches Verfahren das löst, und dass der aus dem Modell abgeleitete optimale Mix eine große Varianz hat. Chan und Perry erinnern daran, dass sich die geschätzte Beziehung bei kleinen Datenänderungen radikal ändern kann, dass Werbetreibende oft in einem engen Ausgabenbereich bleiben, und dass beobachtete Budgets eine Selektionsverzerrung tragen. Chen, Zhang, Han und Lim beschreiben die gängige mehrstufige Schätzpraxis und schlagen vor, Nachwirkung, Form und Skala gemeinsam zu schätzen. Heusch schlägt vor, ein Modell an seiner Fähigkeit zu messen, eine bekannte Wahrheit wiederzufinden, statt an seiner Anpassung, und merkt an, dass synthetische Generatoren exogene Ausgaben erzeugen. Ein Vorbehalt gehört gesagt: Von diesen vier Quellen ist nur eine begutachtet. Die beiden Aussagen, auf die sich dieses Dossier am stärksten stützt, stammen aus offen von ihren Autoren veröffentlichten technischen Berichten, nicht aus begutachteten Artikeln; dort werden sie öffentlich und präzise formuliert, und die Berechnung dieses Dossiers trägt für sich allein. Grundlegende Referenzen: Jin et al. (2017) und Chan & Perry (2017), technische Berichte von Google, nicht begutachtet. Neuere Entwicklungen: Chen et al. (2021, arXiv-Preprint; erschienen im Journal of Applied Statistics, begutachtet) und Heusch (2026, arXiv-Preprint, nicht begutachtet).

1. Jin, Wang, Sun, Chan & Koehler (2017) ↗Volltext geprüft, mit kurzem im Original verorteten Auszug.
2. Chan & Perry (2017) ↗Volltext geprüft, mit kurzem im Original verorteten Auszug.
3. Chen, Zhang, Han & Lim (2021) ↗Volltext geprüft, mit kurzem im Original verorteten Auszug.
4. Heusch (2026) ↗Volltext geprüft, mit kurzem im Original verorteten Auszug.