METHODEN-DOSSIERMSC-P-021Regression und Ökonometrie

Feste oder zufällige Effekte: Welches Panelmodell passt?

Fixed Effects, Standard-Random-Effects und CRE/Mundlak beantworten nicht dieselbe Frage. Die Wahl hängt von Within-/Between-Estimand, Orthogonalität und Fehlerstruktur ab, nicht von einem Automatismus.

Direkte Antwort

Within- und Between-Zusammenhang trennen und eine zur Entscheidung passende Spezifikation wählen.

Hausman, 1978 Bell, Fairbrother & Jones, 2019

Die Antwort in 30 Sekunden

1

Fixed Effects schätzen einen Within-Zusammenhang aus Veränderungen innerhalb jeder Einheit.

2

Standard-Random-Effects verbinden Within- und Between-Variation unter einer stärkeren Orthogonalitätsannahme.

3

Das CRE/Mundlak-Modell trennt beide Kontraste. Es ist oft informativer als eine automatische Hausman-Wahl.

Bell, Fairbrother & Jones (2019) Wooldridge (2019)

Drei Leseebenen

1
Entscheidungsebene: klären, ob es um Veränderung derselben Filiale oder dauerhafte Unterschiede zwischen Filialen geht.
2
Praxis: Kennung, Zeit, Within-Variation, fehlende Werte und Cluster-Ebene der Standardfehler prüfen.
3
Analyse: Estimand festlegen, FE-, RE- und CRE-Annahmen formulieren und Koeffizienten, Unsicherheit und Residuen vergleichen.

Konkrete Marketingsituation

Ein Netz beobachtet 12 Filialen über 8 Wochen. Je Filiale-Woche werden Display-Anteil und Bestellungen je 1.000 Besuche erfasst. Einige Filialen haben dauerhaft mehr Display und weniger Bestellungen. Die operative Frage betrifft jedoch eine Display-Erhöhung innerhalb derselben Filiale.

Wissenschaftliche Frage und Estimand

Einheit: Filiale × Woche. Primärer Estimand: Within-Koeffizient βW, die mittlere Änderung der Bestellungen je 1.000 Besuche bei +1 Punkt Display-Anteil innerhalb derselben Filiale. Sekundär: Between-Koeffizient βB zwischen Filialmitteln. Dies sind Panel-Zusammenhänge, keine identifizierten Kausaleffekte.

βW = Cov(xit − x̄i, yit − ȳi) / Var(xit − x̄i)

Warum das einfache Modell irreführen kann

Eine gepoolte Regression kann Filialveränderungen mit strukturellen Unterschieden zwischen Filialen vermischen.
Standard-RE wird schwer interpretierbar, wenn Within- und Between-Zusammenhänge differieren.
Geclusterte Standardfehler behandeln Residuenabhängigkeit, nicht Identifikationsbias.

Bell, Fairbrother & Jones (2019) Hausman (1978)

Intuition: Within und Between trennen

Die Zerlegung von xit in Filialmittel x̄i und Abweichung xit − x̄i macht beide Fragen sichtbar. Within vergleicht eine Filiale mit sich selbst. Between vergleicht dauerhaft verschiedene Filialen. Standard-RE setzt Gleichheit voraus; CRE/Mundlak schätzt getrennt.

xit = (xit − x̄i) + x̄i

Wooldridge (2019)

Benötigte Daten

Eine Zeile je Einheit und Periode mit stabiler Kennung, Zeit, Ergebnis und zeitvariierenden Prädiktoren.
Ausreichende Within-Variation und genügend Einheiten für vertretbare Cluster-Unsicherheit.
Zeitordnung, Ausfälle, Definitionsänderungen und fehlende Werte vor der Schätzung dokumentieren.

Drei Modelle, drei Annahmen

Fixed Effects

yit − ȳi = βW(xit − x̄i) + (εit − ε̄i)

Das Beispiel nutzt einseitige Filial-FE. Sie absorbieren stabile Filialheterogenität, nicht gemeinsame Wochenschocks.

Standard-RE

yit = α + βRE xit + ui + εit

Unterstellt E[ui|Xi]=0 und einen gemeinsamen Within-/Between-Koeffizienten.

CRE / Mundlak

yit = α + βW(xit−x̄i) + βB x̄i + ai + εit

Trennt beide Kontraste und erlaubt einen Wald-Test von βB−βW=0 mit deklarierter Kovarianz. Das Beispiel führt ihn nicht durch.

i bezeichnet Filiale, t Woche, y Bestellungen je 1.000 Besuche, x Display-Anteil, x̄i und ȳi Filialmittel, α den Achsenabschnitt, ui oder ai stabile Heterogenität, εit den idiosynkratischen Schock, βW den Within- und βB den Between-Kontrast. Zweiseitige FE ergänzen λt als Wocheneffekt; βW nutzt dann um gemeinsame Wochenschocks bereinigte Variation.

Two-way FE: yit = αi + λt + βW xit + εit

Deklarierte Berechnung, Schritt für Schritt

01
x̄i und ȳi je Filiale und danach Within-Abweichungen berechnen.
02
βW auf zentrierten Variablen schätzen und Unsicherheit nach Filiale clustern.
03
βB auf Filialmitteln und Standard-RE per GLS-Quasi-Zentrierung schätzen.
04
CRE mit Within-Abweichung und Mittel schätzen; βW, βB, βRE und Unsicherheit vergleichen.

Durchgängiges Zahlenbeispiel

MSC-P-021-PANEL
Synthetischer Lerndatensatz. Er beschreibt kein reales Filialnetz.

Referenzergebnisse aus 96 Zeilen, 12 Filialen × 8 Wochen
Spezifikation	Koeffizient	Bedeutung
Gepoolt	−1,140	Within-/Between-Mischung
Fixed Effects	−0,600	Within-Zusammenhang
Between	−1,200	Zusammenhang zwischen Mitteln
Standard-RE	−0,689	Deklarierter Python-Momentenschätzer
CRE / Mundlak	βW=−0,600; βB=−1,200	Getrennte Kontraste

Synthetische CSV herunterladen

βW

−0,600

Cluster-SE

0,023

95-%-t-Intervall, df=11

[−0,651; −0,549]

Deklarierte Lehrkonvention: Filial-Cluster-Sandwich, endliche Korrektur G/(G−1), kritischer Wert t(11)=2,200985. Bei nur 12 Clustern illustriert das Intervall die deklarierte Rechnung, garantiert aber keine verlässliche Kleinstichprobeninferenz. Es deckt keinen Identifikationsbias ab.

Gültigkeitsannahmen

FE: strikte Exogenität des idiosynkratischen Fehlers bedingt auf die Prädiktorhistorie sowie ausreichende Within-Variation.
Standard-RE: dieselbe Bedingung plus Orthogonalität zwischen stabilem Einheitseffekt und einbezogenen Prädiktoren.
CRE/Mundlak: Der Einheitenmittelwert bildet die Korrelation zwischen stabiler Heterogenität und Prädiktoren gemäß Spezifikation angemessen ab.
Keines dieser Modelle beseitigt automatisch zeitvariables Confounding, umgekehrte Kausalität, Messfehler oder Antizipation.

Operative Fragen: Reagiert Display auf vergangene, aktuelle oder erwartete Bestellschocks? Ändern sich Preis, Bestand oder Traffic gleichzeitig? Werden Filialen ohne Variation ausgeschlossen? Reicht das Filialmittel zur Darstellung stabiler Korrelation?

Wooldridge (2019) Bell, Fairbrother & Jones (2019)

Diagnostik und Unsicherheit

01

Beobachtete Struktur: 96/96 vollständige Zeilen, 12 Filialen × 8 Wochen, balanciertes Panel, keine Filiale ohne Variation. Die Within-Display-Abweichungen reichen von −3,5 bis +3,5 Punkten (Populations-SD 2,291). Der FE-Koeffizient wird somit durch Within-Variation in jeder Filiale identifiziert.

02

Unsicherheit: nur 12 Cluster. Der Filial-Sandwich-SE beträgt 0,022972 mit G/(G−1)-Korrektur; das t(11)-Intervall ist [−0,650562; −0,549438]. Es illustriert diese Lehrkonvention, ohne bei wenigen Clustern verlässliche Inferenz zu garantieren. Das reine Filial-FE-Modell absorbiert keine gemeinsamen Wochenschocks.

03

Spezifikation: βB−βW=−0,600; der Between-Zusammenhang ist damit doppelt so negativ wie der Within-Zusammenhang. CRE macht die Differenz sichtbar, hier wird jedoch kein Wald-Test ausgeführt. βRE=−0,689372 liegt näher an βW, bleibt aber eine Mischung. Wocheneffekte sind die minimale Sensitivitätsanalyse für gemeinsame Schocks; zufällige Steigungen und Residuen sind an realen Daten zu prüfen.

Ergebnisse interpretieren

βW=−0,600: Im synthetischen Datensatz sind +1 Display-Punkt innerhalb derselben Filiale mit 0,6 weniger Bestellungen je 1.000 Besuche verbunden.
βB=−1,200 beantwortet eine andere Frage: Vergleich dauerhaft unterschiedlicher mittlerer Display-Anteile.
βRE=−0,689 ist weder βW noch βB; er kombiniert beide gemäß geschätzter Varianzstruktur.

Zulässige und unzulässige Schlüsse

Zulässig

Within- und Between-Zusammenhänge getrennt beschreiben.
Zeigen, welche Zusatzannahme Standard-RE macht.
Eine zur Frage passende Spezifikation wählen und Unsicherheit dokumentieren.

Unzulässig

Hausman als automatische FE-sonst-RE-Regel verwenden.
βW ohne zusätzliches Design und Identifikationsannahmen kausal deuten.
Annehmen, Fixed Effects beseitigten jede Endogenität.

Mögliche Marketingentscheidung

Für eine operative Within-Filialentscheidung βW und seine Unsicherheit priorisieren. Wenn strukturelle Filialunterschiede relevant sind, βB oder ein vollständiges CRE berichten. Für Kausalinterpretation ist zusätzliches Identifikationsdesign nötig; das Panelmodell allein genügt nicht.

Wann einsetzen und wann nicht

01

FE: Within-Frage, potenziell korrelierte stabile Heterogenität, zeitkonstante Variablen nicht zentral.

02

Standard-RE: nur wenn Within-/Between-Pooling und Orthogonalität vertretbar sind.

03

CRE/Mundlak: wenn beide Ebenen relevant sind oder ihre Gleichheit explizit geprüft werden soll.

Reproduzierbare Implementierungen

Python 3.13 (Standardbibliothek) und R 4.5 (Base R) sind die beiden Referenzimplementierungen: gleiche CSV, gleiche deklarierte Formeln und gleiche erwartete Ausgaben. SPSS 31 und SAS 9.4 sind sekundäre native Syntaxbeispiele: Sie zeigen FE, RE und CRE, ihre RE-Schätzer, Varianzkomponenten, Kovarianzen und Freiheitsgrade sind jedoch nicht als numerisch gleich zertifiziert. βRE=−0,689372 gehört zur Referenz-Momentenmethode.

Python-Referenzskript herunterladen

Python 3.13 · Referenz

# Python 3.13, standard library only
python msc-p021-reference.py --csv msc-p021-panel.csv
# Expected: FE=-0.600000; RE=-0.689372; between=-1.200000

R 4.5 · Referenz

# R 4.5, base R only: exact companion to the Python reference
d <- read.csv("msc-p021-panel.csv")
G <- length(unique(d$store_id)); Tn <- 8
d$xbar <- ave(d$display_share_pct, d$store_id)
d$ybar <- ave(d$orders_per_1000, d$store_id)
d$xwithin <- d$display_share_pct - d$xbar
d$ywithin <- d$orders_per_1000 - d$ybar
pooled <- coef(lm(orders_per_1000 ~ display_share_pct, d))[2]
within <- sum(d$xwithin*d$ywithin)/sum(d$xwithin^2)
between_fit <- lm(ybar ~ xbar, unique(d[c("store_id","xbar","ybar")]))
between <- coef(between_fit)[2]
e <- d$ywithin - within*d$xwithin
sigma_e2 <- sum(e^2)/(G*(Tn-1)-1)
sigma_u2 <- max(0, sum(resid(between_fit)^2)/(G-2)-sigma_e2/Tn)
theta <- 1-sqrt(sigma_e2/(sigma_e2+Tn*sigma_u2))
re <- coef(lm(I(orders_per_1000-theta*ybar) ~ I(display_share_pct-theta*xbar), d))[2]
scores <- tapply(d$xwithin*e, d$store_id, sum)
cluster_se <- sqrt((G/(G-1))*sum(scores^2)/sum(d$xwithin^2)^2)
ci <- within + c(-1,1)*qt(.975, df=G-1)*cluster_se
c(pooled=pooled, within=within, between=between, re=re,
  contextual=between-within, cluster_se=cluster_se, ci_low=ci[1], ci_high=ci[2])

IBM SPSS Statistics 31 · sekundär

* IBM SPSS Statistics 31 — secondary native syntax, not numerically certified.
GET DATA /TYPE=TXT /FILE='msc-p021-panel.csv'
 /DELCASE=LINE /DELIMITERS=',' /FIRSTCASE=2
 /VARIABLES=store_id A3 week F2 display_share_pct F8.1 orders_per_1000 F8.1.
AGGREGATE OUTFILE=* MODE=ADDVARIABLES /BREAK=store_id
 /xbar=MEAN(display_share_pct).
COMPUTE xwithin=display_share_pct-xbar.
UNIANOVA orders_per_1000 BY store_id WITH display_share_pct
 /METHOD=SSTYPE(3) /DESIGN=store_id display_share_pct.
MIXED orders_per_1000 WITH display_share_pct
 /FIXED=INTERCEPT display_share_pct | SSTYPE(3)
 /RANDOM=INTERCEPT | SUBJECT(store_id) COVTYPE(VC) /METHOD=REML.
MIXED orders_per_1000 WITH xwithin xbar
 /FIXED=INTERCEPT xwithin xbar /RANDOM=INTERCEPT | SUBJECT(store_id) COVTYPE(VC).

SAS 9.4 · sekundär

/* SAS 9.4 — secondary native syntax, not numerically certified. */
proc import datafile="msc-p021-panel.csv" out=panel dbms=csv replace; guessingrows=max; run;
proc sql; create table cre as select *, mean(display_share_pct) as xbar
 from panel group by store_id; quit;
data cre; set cre; xwithin=display_share_pct-xbar; run;
proc panel data=panel; id store_id week;
 model orders_per_1000=display_share_pct / fixone;
 model orders_per_1000=display_share_pct / ranone; run;
proc mixed data=cre method=reml;
 class store_id; model orders_per_1000=xwithin xbar / solution;
 random intercept / subject=store_id; run;

Alle vier Blöcke verwenden dieselbe CSV und dieselben Estimanden, nicht zwingend denselben nativen Algorithmus. Keine Software validiert Exogenität, fehlendes zeitvariables Confounding oder kausale Reichweite.

Erwartetes Endergebnis

01
Tabelle zu Einheiten, Perioden, fehlenden Werten und Within-Variation.
02
FE-, Standard-RE- und CRE-Ergebnisse mit Estimanden, Kovarianz, Intervallen und Diagnostik.
03
Schriftliches Fazit: Within, Between, prüfbar, nicht prüfbar, zulässig und unzulässig.

Wissenschaftliche Quellen und Evidenzniveau

Hausman (1978)Grundlagenartikel, Spezifikationstest
Formalisiert den Vergleich eines unter der Null effizienten und eines unter breiterer Alternative konsistenten Schätzers. Keine automatische Geschäftsregel.
Bell, Fairbrother & Jones (2019)Methodenreview und Simulationen
Trennt Within und Between, erklärt Standard-RE-Mischung, zufällige Steigungen und warum Hausman nicht allein entscheiden soll.
Wooldridge (2019)CRE-Theorie für balancierte und unbalancierte Panels
Belegt die Within-Koeffizienten-Äquivalenz durch Zeitmittel und formuliert Exogenitätsbedingungen.

Alle drei Volltexte wurden verifiziert und konkreten Aussagen zugeordnet. Datensatz, Code und Zahlen sind synthetische MSC-Schöpfungen ohne externe empirische Validierung.

Methodische Verbindungen

Übergeordnetes GebietMarketing-Reaktionsmodelle: Form, Verzögerung und Sättigung ErfordertPrädiktive oder kausale Regression: Was soll geschätzt werden?Vergleichen mitWie behandelt man Preisendogenität?